Понятие о дифференциальном уравнении

 Определение. Уравнение, содержащее независимую переменную, функцию от этой независимой переменной и ее производные различных порядков, называется дифференциальным уравнением.

Определение. Наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Дифференциальные уравнения широко применяются в области медицины: это волновые и колебательные движения, вязкость крови и т.д.

Определение. Решением дифференциального уравнения называется любая функция y = j(x), при подстановке которой в уравнение будет получено тождество. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения, график решения называют интегральной кривой.

Интегральная кривая – это график решения дифференциального уравнения, т.е график функции, удовлетворяющей этому уравнению.

Общим решением дифференциального уравнения y∕ = j(x,у), в области определения D(f) называется функция y = j (x, С), обладающая следующими свойствами:

1. Она является решением данного уравнения при любых значениях произвольной постоянной С, принадлежащих некоторому множеству.

2. для любого начального условия у(х₀) = х₀ : (х_0, у₀) Є D (f) ! C = C₀, при котором решение y = j (x, С₀), удовлетворяет заданному условию.

Всякое решение y = j (x, С₀), получается из общего решения y = j (x, С) при конкретном значении С = С₀, называется частным решением дифференциального уравнения.

Пример 1: Найти частное решение дифференциального уравнения у^/ = 2у – 6, если х = 0, у = 4.

Решение:

dу = 2(у-3)dх

общее решение

ln(у – 3) = 2х + С

ln(4 – 3) = 0 + С

C = ln 1 = 0

ln(у – 3) = 2х

2х = 2хlnе = lne^2x

у – 3 = lne^2x

у = lne^2x + 3 – частное решение.

Дифференциальные уравнения описывают многие примеры самых разных процессов природы. Например: поглощение света в растворе, фармакологическая кинетика.

 Пример 1: Найдем закон Т(t) остывания кипящей воды до комнатной температуры (t_комн=20⁰) и время достижения 40⁰, если до 60⁰ вода остывает за 20 мин. Известно, что мгновенная скорость остывания линейно зависит от разницы Т и t_комн.

Решение:

Составим дифференциальное уравнение:

 

В медицинских приложениях дифференциальные уравнения используются для:

• определения скорости кровотока, скорости движения клапанов и стенок сердца (эхокардиография), определение вязкости крови и других параметров гемодинамики;

• описания медико- биологических приложений ультразвука: эхоэнцефалограмма, УЗИ, ультразвуковая физиотерапия, ультразвуковая локация и кардиография;

• описания процессов физиологической акустики, которая изучает устройство и работу звуковоспринимающих и звуковоспроизводящих органов человека и животных.

Составление дифференциальных уравнений на простых задачах

Решим уравнение .

Его решение: определено на . Отметим, что эта постоянная – произвольная и решение – не единственное, а имеется бесконечное множество решений.

рис.1

 

Более сложное уравнение, в котором производная непостоянная, имеет вид: . Это – уравнение первого порядка, разрешенное относительно . (Термин «разрешенное» означает, что выражается через остальные величины, в отличие от уравнения общего вида , из которого выразить может быть и не удастся). Это уравнение также имеет бесконечно много решений, отличающихся на константу C (см. рис. 2):

Это решение дифференциального уравнения описывается серией функций:

при С=0 y=F(x)

при С=1 y=F(x) + 1 и т.д. Таким образом серия графиков получена параллельным переносом на константу С.

 

рис.2

Более сложные дифференциальные уравнения обычно стараются свести к таким простейшим уравнениям 1-го порядка, разрешенным относительно производной, которые легко решить интегрированием.