Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянным коэффициентом.

Уравнение вида F(х;у;у^/;у^//) = 0 называется дифференциальным уравнением второго порядка, где у = у(х) – искомая неизвестная функция, у^/ = у^/(х) и у^// = у^//(х) – ее производные по х первого и второго порядка, а F - заданная функция переменных х, у, у^/,у^//.

Функция φ(х), х (а;b), называется решением дифференциального уравнения F(х;у;у^/;у^//) = 0, если она имеет производные φ^/(х) и φ^//(х) и если для любого х (а;b) справедливо равенство F ( х; φ(х); φ^/(х); φ^//(х)) = 0

Дифференциальные уравнения вида: .- называется уравнением, разрешением относительно второй производной, где f – заданная функция переменных х, у, у^/ .

Дифференциальные уравнения вида у^// + ру^/ + qy = f(x) где р и q – некоторые числа, называется линейными дифференциальными уравнениями второго порядка.

Функция f(х) называется свободным членом или правой частью уравнения

у^// + ру^/ + qy = f(x).

Если f(х) 0, то дифференциальное уравнение называется линейным однородным уравнением . Оно имеет вид у^// + ру^/ + qy = 0

Пример:

Найти все решения уравнения у^// -y = 0

Решение:

Легко проверить, что функция у = е^х является решением данного уравнения. Аналогично проверяется, что и функция у = е^-х является решением уравнения. Покажем, что при любых С₁ и С₂ функция у = С₁е^х + С₂е^-х является решением уравнения у^// -y = 0. Имеем:

у^/ = С₁е^х - С₂е^-х

у^// = С₁е^х + С₂е^-х = у

С₁ =

С₂ =

y = ₁е^х + е^-х является решением задачи Коши

В силу единственности решения задачи Коши φ(х) = ₁е^х + е^-х

Таким образом у = С₁е^х + С₂е^-х задает общее решение уравнения.

10. Числовая последовательность

Определение№1: множество чисел, каждое из которых снабжено своим номером, называется числовой последовательностью.

Элементы этого числового множества называются членами последовательности и обозначают: первый член - а ₁, второй - а ₂ , n- й член - а _n и т.д. Вся последовательность обозначается : а _1, а _2, а ₃, …, а _n или (а _n ).

Числовая последовательность представляет собой не что иное, как множество нумерованных чисел, упорядоченных наподобие натурального ряда, т.е. располагаемое в порядке возрастания номеров. Последовательность может содержать как конечное, так и бесконечное число членов.

Последовательность, состоящая из конечного числа членов, называется конечной, а последовательность, состоящая из бесконечного числа членов, - бесконечной последовательностью.

Иногда бесконечную числовую последовательность вводят, используя понятие функции:

Определение №2: Функцию у = f(x), x N называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают: у = f(n), или у₁, у₂, у₃..., у_n или у(n).

Последовательности можно задавать различными способами, например, словесно, когда правило задавания последовательности описано словами, без указания формулы. Так, словесно задается последовательность простых чисел:

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,...

Особенно важны аналитический и рекуррентный способы задания последовательности.

Говорят, что последовательность задана аналитически, если указана формула ее n-го члена.

Приведем три примера.

1. у_n = n². Это аналитическое задание последовательности

1,4,9,16,…, n², …

Указав конкретное значение n, нетрудно найти член последовательности с соответствующим номером. Если. Например, n= 9, то у₉ = 9² = 81, если

2. у_n = С. Здесь речь идет о последовательности С, С, С, …., С, …. . Такую последовательность называют постоянной (или стационарной).

3. у_n = 2ⁿ . Это аналитическое задание последовательности 2, 2², 2³, ….,2ⁿ, …

Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывают правило, позволяющее вычислить n- й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Например, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность (а_n), заданная рекуррентно соотношениями:

а _1, = а, а_n+1 = а_n+ d

(а и d – заданные числа, d – разность арифметической прогрессии)

Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность (b_n)? Заданная рекуррентно соотношениями:

b _1, = b, b_n+1 = b_n·q

(b и q – заданные числа, b≠0, q ≠ 0; q знаменатель геометрической прогресси прогрессии).

Пример: Выписать первые пять членов последовательности, заданной рекуррентно:у₁ =1; у₂ = 1; у_n = у_n-2 + у_n-1

Решение. n –й член последовательности равен сумме двух предшествующих ему членов. Значит, последовательно получаем:

у₁ =1; у₂ = 1; у₃ =1+1 = 2; у₄ = 1+ 2 = 3; у₅ =2+3 =5; и т.д.