Производная алгебраической суммы функций.

Теорема 1.

Производная алгебраической суммы двух дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

(u(x)+v(x))' = u'(x)+v'(x).

(u(x)-v(x)'=u'(x)-v'(x).

Замечание. Можно доказать справедливость теоремы 1 для суммы любого конечного числа дифференцируемых функций, т.е.

Задача: Найти производную функции f(x)=x²+x-7.

Вычислить f (-1), f (0), f (3)

Решение

2. Производная произведения функций

Теорема 2.

Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведений каждой функции на производную другой.

.

Эта формула называется формулой Лейбница.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной. .

Следствие 2. Производная функции f(x)=xⁿ, где равна произведению показателя n на степень .

Задача. Найти производную функции f(x)=x³(x-1)

Решение:

3. Производная частного двух функций

Теорема 3. Производную частного двух дифференцируемых функций можно найти по формуле:

, где

Задача: Найти производную функции

Решение:

Упражнения

Найти производные функции:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Производная сложной функции

Есть функция y=f(z), где .

Функция, заданная формулой , называется сложной функцией.

Пример: функция - сложная

Производную сложной функции можно найти по формуле: .

Задача 1.Найти производную функции .

Решение:

Пусть , тогда .

По теореме о производной сложной функции.

Тогда

Упражнения Найти производную функции:

Производные элементарных функций:

1. (uⁿ)' = nu^n-

2. (a^u)' = a^u lna u'.

3. (e^u)' = e^u u'.

4. (log_a u)' = u'/(u ln a).

5. (ln u)' = u'/u.

6. (sin u)' = cos u u'.

7. (cos u)' = - sin u u'.

8. (tg u)' = 1/ cos²u u'.

9. (ctg u)' = - u' / sin²u.

10. (arcsin u)' = u' / .

11. (arccos u)' = - u' / .

12. (arctg u)' = u'/(1 + u²).

13. (arcctg u)' = - u'/(1 + u²).

Контрольные вопросы

Что такое приращение аргумента и приращение функции?

В чем состоит геометрический смысл производной?

В чем состоит механический смысл производной?

Сформулируйте определение функции в точке?

Как называется процесс нахождения производных функций?

Сформулируйте правила вычисления производных?

Чему равна производная функции f(х) = хⁿ?

Чему равна производная сложной функции?

Домашнее задание

Заполните в рабочей тетради занятие 1, 2

Лекция № 2

Тема: Дифференциальное исчисление

План:

Изучение производной при исследовании функций и построения графиков.

Определение функции нескольких переменных.

Частные функции.

Цели: создание благоприятных условий для изучения производной при исследовании и построении графиков функций; ввести понятие функции нескольких переменных.

I. Вопросы для повторения

1) Что называется функцией y=f(x)?

2) Какая функция называется возрастающей на промежутке?

3) Какая функция называется убывающей на промежутке?

4) Какая функция называется монотонной на промежутке?

II. Текст для чтения

С помощью производной можно определить монотонность функции на любом промежутке области определения.

Рисунок 12

Рисунок 13

Функция y=f(x) (Рисунок 13) возрастает на промежутке (a; b). Касательная в любой точке функции y=f(x) образует с положительным направлением оси Ox острый угол или угол, равный 0. Значит, . Но .

Производная функции y=f(x) в каждой точке (a; b) неотрицательна.

Необходимое условие возрастания функции:

Если функции y=f(x) возрастает на (a; b), то для всех x, принадлежат (a; b).

Пример: Функция возрастает на , т.к. .

Функция (Рисунок 12) убывает на (a; b)

Касательная в любой точке графика функции образует с положительным направлением оси Ox или тупой угол, или угол, равный нулю. Значит, tg .

Но .3

Необходимое условие убывания функции:

Если функция y=f(x) убывает на ]a; b[, то для всех x, принадлежащих (a; b).

Пример: функция убывает на (- ;0 ], так как ее производная на этом промежутке отрицательна.

Справедливы и обратные теоремы.

Теорема (достаточное условие возрастания функции):

Если f'(x)>0 для всех x, принадлежащих (a;b), то функция y=f(x) возрастает на (a ; b)

Теорема (достаточное условие убывания функции):

Если f'(x)<0 для всех x, принадлежащих (a;b), то функция y=f(x) убывает на (a; b)

Значит, чтобы найти промежутки монотонности, нужно:

1)найти область определения функции y=f(x),

2)вычислить производную функции f'(x),

3)решить уравнение f'(x)=0

4)отметить на числовой прямой область определения функции и критические точки;

3)определить знак производной f'(x) на каждом промежутке.

Задача 1.Найти промежутки монотонности функции

1.D(x)=R

2.

3.Решить неравенства и методом интервалов.

Ответ: функция y=f(x) возрастает на и

убывает на .

Задача 2. Найти промежутки возрастания и убывания функции

Упражнения

Найти промежутки монотонности функций:

1)

2)

3)

4)

5)