Практические задания

1. Являются ли операциями на множестве натуральных чисел следующие отношения между N² и N:

а) ; в) ; д) ;

б) , где [z] – целая часть числа z; г) ; е) ; ж) .

В тех случаях, когда отношения являются бинарными алгебраическими операциями на N, обозначив их через перейдите к принятой для операции записи.

2. Определите являются ли действия умножения, деления, сложения и вычитания чисел алгебраическими операциями в следующих числовых множествах: а) множество всех натуральных чисел; б) множество N  {0}; в) {2n + 1| nZ}; г) Z; д) Q; е) R.

3. Является ли действие , определенное на множестве М, алгебраической операцией, если:

а)   сложение, М = {x | xZ  x < 0}; б)   вычитание, М = Z;

в) , M = N; г)   умножение чисел, M = {5n + 1| nN}.

4. Какие из следующих алгебраических операций на множестве рациональных чисел являются коммутативными: а) сложение; б) умножение; в) деление; г) вычитание; д) операция , задаваемая формулой ху = х + 2у; е) операция , задаваемая формулой ?

5. Какие из следующих операций на множестве целых чисел ассоциативны: а) сложение; б) вычитание; в) умножение; г) деление; д) ху = 3х + 2у; е) ?

6. Выясните свойства действий пересечения и объединения множеств на множестве всех подмножеств некоторого непустого множества.

7. Выясните свойства разности множеств на множестве из задания 6.

8. Выясните свойства операции – симметрической разности: (X \ Y)  (Y \ X) на множестве задания 6.

9. Выясните свойства операции , заданной на множестве М = , согласно которой .

10. Выясните свойства операций, заданных в задании 1.

11. Выясните является ли отношение монотонным относительно операции (операция и отношение заданы на N) если:

а) a b = HOD(a,b), (x, y)  x < y; б) a b = HOK(a,b), (x, y)  x < y; в) a b = a + b, (x, y)  (x + y) 2;

г) a b = a  b, (x, y)  x  y; д) a b = a b, (x, y)  HOD(x, y) = 1; е) a b = | a – b | + 1, (x, y)  HOD(x, y) > 1.

12. Выясните свойства операций и связь между ними, если (a₁,m₁)  (a₂,m₂) = (a₁m₂ + a₂m₁, m₁m₂), (a₁,m₁) ⊙ (a₂,m₂) = (a₁a₂, m₁m₂) и операции заданы на множестве M = {(a,m)| aZ, mN}.

13. Убедитесь, что алгебраической операцией является следующее отношение между множествами М ² и М, где М = , n  N, (((i₁, i₂, …, i_n), (j₁, j₂, …, j_n)), (k₁, k₂, …, k_n))   k_ = j_i,  = . Упростите запись, приняв (i₁, i₂,…, i_n) = и обозначив отношение через точку.

14. Докажите, что операция из задания 13 обладает свойствами ассоциативности, обратимости, но не коммутативности. Найдите нейтральный элемент.

15. Составьте таблицу сложения, определенную на множестве М = , согласно которому , где s – остаток от деления i + k на 5. Выясните свойства этой операции.

16. Составьте таблицы сложения и умножения, определенные на множестве М = , следующим образом: , где k – остаток от деления i + j на 3,

, где k – остаток от деления i  j на 3.

Выясните свойства этих действий и докажите, что умножение дистрибутивно относительно сложения.

17. На множестве М = {(a,b)| aN, bN, a > b} заданы: операция , согласно которой (a,b) (c,d) = (ac + bd, ad + bc) и отношение , такое, что (a,b)  (c,d)  a + d  b + c. Докажите, что отношение монотонно относительно данного действия. Докажите, что отношение в этом примере является отношением линейного порядка.

18. На К = заданы две операции, согласно которым и . Докажите, что К является кольцом. Выясните свойства операции умножения.

19. На К = заданы две операции, согласно которым и . Докажите, что К кольцо с делителями нуля.