Самостоятельная работа

1. Докажите следующие тождества:

а) В  (А \ В) = ; б) А \ (В  С) = (А \ В)  (А \ С);

в) А \ (В  С) = (А \ В)  (А \ С); г) А \ (В \ С) = (А \ В)  (А  С).

2. Докажите следующие утверждения:

а) А  В  А  В = В; б) А  В  А  С  В  С;

в) А  В  А \ В  ; г) А  С  А  (В  С) = (А  В)  С.

3. Докажите следующие равносильности:

а) А \ В = А  В \ А = В; б) А \ В = А  В  А = ; в) А  В = А  В  А = В.

4. В группе из 35 человек все три языка изучает 1 человек, немецкий и испанский – 3, английский и испанский – 4, немецкий и английский – 5, английский – 16, испанский – 18, немецкий – 12. сколько человек изучает английский или испанский языки?

5. Приняв за универсальное множество , выясните количество элементов множества, отвечающего формуле , относящейся к предыдущей задаче.

Задачи повышенной трудности

1. Докажите, что множество, состоящее из n элементов, имеет 2ⁿ различных подмножеств.

2. Покажите, что при m < n множество, состоящее из n элементов, имеет различных m-элементных подмножеств.

Тема 5. Прямое (декартово) произведение множеств

Упорядоченные пары (a, b), (c, d) равны тогда и только тогда, когда a = c, b = d.

Прямое произведение А  В = {(x, y) | xA  yB}.

Обобщение: две nки (а₁, а₂, …, a_n) и (b₁, b₂, …, b_n) равны тогда и только тогда, когда a_i = b_i, i = .

Прямое произведение А₁  А₂  …  А_n = {(x₁, x₂, …, x_n) | x_i  A_i, i = }.

Практические задания

1. Запишите множество букв, входящих в слово "шар". Образуйте все возможные кортежи из букв, входящих в это слово.

2. Определите, какие высказывания являются истинными, а какие ложными:

а) {a, b}  {b, a}; б) (a, b)  (b, a);

в) {(5,3), (5,2), (5,1)} = {(5,1), (5,2), (5,3)}; г) {(3,5), (2,5), (1,5)} = {(5,3), (5,2), (1,5)}; д) {(1,2), (2,1), (2,2)} = {(2,1), (1,2), (2,2)}.

3. Дано множество {1, 3, 7, 9}. Составьте все упорядоченные пары из элементов этого множества.

4. Найдите прямые произведения и дайте их графические изображения:

а) А  В , если А = {x | 2  x  3, xN}, В = {x | 1  x  4, xN};

б) Z², где Z – множество целых чисел;

в) N², где N – множество натуральных чисел;

г) R², где R – множество действительных чисел.

5. Найдите М₁  М₂  М₃  М₄, если М₁ = {a, b}, М₂ = {0, 1, 2}, М₃ = {0}, М₄ = {1}.

6. Постройте геометрические изображения М₁  М₂, М₁², М₂², М₂  М₁, М₁  М₂  М₃, если:

а) М1 = [1, 4], М2 = {2}; б) М1 = [2, 1], М2 = R, М3 = [1, 2];

в) М1 = {(x, y) | x2 + y2 = 4}, М2 = [2, 5]; г) М1 = {(x, y) | x2 + y2  9}, М2 = [1, 10].

7. Представить в виде декартова произведения соответствующих множеств:

а) М = {…, (3,1), (2,1), (1,1), (0,1), (1,1), (2,1), …};

б) множество всех точек плоскости.

8. Доказать, что если A, B, C и D не пусты, то

а) A  B  C  D, тогда и только тогда, когда A  C  B  D;

б) A = B  C = D, тогда и только тогда, когда A  C = B  D.

9. Участники геологической экспедиции имеют фамилии f₁, f₂, …, f_n, имена i₁, i₂, …, i_s, отчества v₁, v₂, …, v_t, причем нет двух участников экспедиции, у которых совпадали бы одновременно и имена, и отчества, и фамилии. Каким может быть наибольшее число участников этой экспедиции?

10. Докажите, что (A  B)  (C  D) = (A  C)  (B  С)  (A  D)  (B  D).

11. Доказать:

а) (A  B)  (C  D) = (A  C)  (B  D);

б) A  (B  C) = (A  В)  (А  С).

12. Докажите, что

а) A  (B \ C) = (A  В) \ (А  С);

б) V2 \ (A  В) = ((V \ A)  V)  (V  (V \ B)).