Самостоятельная работа

1. В следующих утверждениях многоточия замените словами: "необходимо и достаточно", "необходимо, но недостаточно", "достаточно, но не необходимо":

а) "Для того, чтобы четырехугольник был прямоугольником, …, чтобы его диагонали были равны";

б) "Для того, чтобы четырехугольник был параллелограммом, …, чтобы все его стороны были равны";

в) "Для того, чтобы четырехугольник был прямоугольником, …, чтобы все его углы были равны";

г) "Для того, чтобы четырехугольник был параллелограммом, …, чтобы его диагонали были равны".

2. Сформулируйте все виды высказываний, считая данные высказывания прямыми:

а) "Сумма углов треугольника равна 180⁰";

б) "Сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны";

в) "Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов";

г) "Ядро гомоморфизма является нормальным делителем группы".

3. Дайте определение понятий:

а) "Число А не является пределом функции f(x) при x, стремящемся к а";

б) "Четырехугольник ABCD не является прямоугольником";

в) "Число а не является простым (а  N)".

4. Обоснуйте следующие схемы доказательств:

а) ;	б) ;	в) ;	г) ;
д) ;	е) ;	ж) ;	з) ;
и) ;	к) ;	л) ;	м) ;

н) ; о) ; п) ; р) ; с) .

Задачи повышенной трудности

1. Докажите, что если ╞ 0, то  1.

2. Докажите, что если , ╞ 0, то ╞ В.

3. Докажите утверждение:

Если, допустив истинность , выведем противоречие, то можем утверждать истинность В.

Тема 3. Предикаты и кванторы

Предикаты – предложения с переменными, которые превращаются в высказывания в результате замены свободных переменных конкретными значениями (такими, что есть возможность считать получившееся высказывание истинным или ложным). При задании предиката следует указывать область допустимых значений.

Например, предикат 2х = 1, рассматриваемый для натуральных чисел отличается от предиката, заданного этим же уравнением, но для рациональных чисел.

В общем случае предикат Р(x₁, x₂, …, x_n) является n-местным и по существу является условием, накладываемым на энки определенных объектов. Простое высказывание – нульместный предикат.

Все допустимые значения переменных образуют предметную область предиката.

Предикат называется выполнимым, если существует набор из предметной области, при котором его истинностным значением будет И.

Если такого набора нет, то предикат называется тождественно ложным. Например, предикат 2х = 1 выполним в Q и тождественно ложен в N.

Наконец, предикат называется тождественно истинным, если при любом наборе значений переменных из предметной области он принимает истинностное значение И.

Например, предикат 0х = 0 является тождественно истинным в R.

Приписывание к предикату Р(x₁, x₂, …, x_n) квантора общности (х₁) или квантора существования (х₁) превращает данный n-местный предикат в n-1 местный (х₁)Р(x₁, x₂, …, x_n), (х₁)Р(x₁, x₂, …, x_n), переменная х₁ называется связанной переменной (в частности, (х)Р(x), (х)Р(x) – являются простыми высказываниями).

Эта операция называется квантированием (или навешиванием квантора).

Два предиката называются равносильными, если их истинностные значения для любого набора из предметной области (для свободных переменных) совпадают.

Известно, что и .