Тема 2. Теоремы. Необходимые и достаточные условия. Схемы доказательств

Любую теорему можно представить в виде А  В или А  В, последнее есть по существу краткая запись двух теорем: А  В, В  А.

Как известно, формулы А  В и В  А не равносильны. Но А  В  , В  А  .

Если АВ – теорема, то высказывание ВА принято называть обратной теоремой, – противоположной теоремой, – теоремой обратной противоположной (или противоположной обратной).

Логичная связь между этими теоремами раскрывается уже упомянутыми равносильностями: .

Если А  В – теорема, то А называется достаточным условием для В, В – необходимым условием для А.

Таким образом, вместо формулировки : "если А, то В" можно теорему сформулировать так "А достаточно, чтобы имело место В", "для того, чтобы имело место А необходимо выполнение В".

Практические задания

1. Выделите условие и заключение теоремы и сформулируйте все виды теорем (принимая каждую из данных за прямую):

а) "Если натуральное число оканчивается двумя нулями, то оно делится на 100";

б) "Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный";

в) "Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся пополам точкой пересечения".

2. Для следующих высказываний сформулируйте противоположное, обратное, противоположное обратному; укажите, истинны они или нет:

а) "Диаметр, который делит хорду пополам, перпендикулярен этой хорде";

б) "Если углы А и В вертикальны, то они равны";

в) "В ромбе диагональ делит два противоположных угла пополам";

г) "Если число делится на 15, то оно делится на 5".

3. Вместо многоточия вставьте слова: "необходимо", "достаточно", "необходимо и достаточно" (так, чтобы высказывание было истинным):

а) "Для того, чтобы число делилось на 6, … , чтобы оно делилось на 3";

б) "Для того, чтобы 3а было равно 0, … , чтобы а равнялось 0";

в) "Для того, чтобы диагонали четырехугольника в точке пересечения делились пополам, …, чтобы этот четырехугольник был параллелограмм";

г) "Для того, чтобы точки угла были равноудалены от его сторон, …, чтобы они лежали на биссектрисе этого угла".

4. Будет ли условие: "семиклассник Петя получил по всем предметам годовые оценки 4" достаточным (необходимым) для заключения: "по результатам успеваемости Петя переведен в 8 класс"?

5. Будет ли условие: "семиклассник Петя получил по истории годовую оценку 4" достаточным (необходимым) для заключения из предыдущей задачи?

6. Закончить формулировки предложений, подставив вместо многоточий слова: "необходимо" или "достаточно", или "необходимо и достаточно". (При определении необходимости и достаточности условия оцените истинность прямого, обратного, противоположного и обратного противоположному предложений.):

а) "Для того, чтобы число делилось на 15, … , чтобы оно делилось на 2, 3 и 5";

б) "Для того, чтобы число делилось на 15, … , чтобы оно делилось на 5";

в) "Для того, чтобы число делилось на 15, … , чтобы оно делилось на 3 и 5";

г) "Для того, чтобы четырехугольник был параллелограммом, …, чтобы две его противоположные стороны были параллельны";

д) "Для того, чтобы четырехугольник был параллелограммом, …, чтобы все его стороны были попарно параллельны";

е) "Для того, чтобы 3а было равно 0, … , чтобы а равнялось 0";

ж) "Для того, чтобы два числа были взаимно простыми, …, чтобы их наибольший общий делитель равнялся единице";

з) " Для того, чтобы два числа были взаимно простыми, …, чтобы они были различными простыми числами";

и) "Для того, чтобы дробь представлялась в виде конечной десятичной дроби, …, чтобы каноническое разложение числа b содержало только числа ".