Тема 12. Построение множества комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа. Геометрические интерпретации комплексного числа

Множество комплексных чисел со сложением: , умножением: относительно указанных действий является полем. Единицей является пара (1,0). Каждый элемент (a,b)  (0,0) имеет обратный .

Решением уравнения x² + (1,0) = (0,0) является пара (0,1) – мнимая единица.

Вместо записи (a,b) принята запись a + bi, называемая алгебраической формой комплексного числа. Здесь i = (0,1), причем i² = 1. Два комплексных числа a₁ + b₁i и a₂ + b₂i равны тогда и только тогда, когда a₁ = a₂, b₁ = b₂.

Если комплексное число z = a + bi, то Re z = a, Im z = b.

Складываются и умножаются комплексные числа в алгебраической форме по правилам соответствующих действий над многочленами с учетом i² = 1.

Число a – bi называется сопряженным числу a + bi; (a + bi)(a – bi) = a² + b².

Чтобы разделить одно комплексное число на другое, действуют по следующему правилу: .