Практические задания

1. Докажите, что для любых натуральных чисел a, b, c справедливы утверждения:

а) a + (b + c) = (a + b) + c; б) a (b + c) = ab + ac; в) (a + b)c = ac + bc; г) a + 1 = 1 + a; д) a + b = b + a;

е) a  1 = 1  a; ж) ab = ba; з) a(b  1) = (ab) 1; и) a(bc) = (ab)c;

к) a  a + 1; л) a  a + b; м) a + u = b + u  a = b; н) au = bu  a = b.

2. Докажите, что .

3. Докажите, что .

4. Докажите равенство .

5. Докажите равенство .

6. Докажите равенство .

7. Докажите равенство .

8. Докажите равенство .

9. Докажите, что делится на 19 при любом натуральном n.

10. Последовательность составляется по следующему закону: первые два числа даны; каждое же . Докажите, что .

11. Докажите справедливость равенств:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

12. Докажите, что для всех натуральных n справедливы утверждения:

а) кратно 6; б) кратно 9; в) кратно 4;

г) кратно 19; д) кратно 17; е) кратно 27.

13. Дано: . Докажите, что , n  N.

14. Дано: , . Докажите, что , n  N.

15. Дано: . Докажите, что , n  N.

16. Докажите неравенства:

а) при n  N; б) при n  N;

в) при n  N, n > 2.

17. Докажите, что n прямых лежащих в одной плоскости и имеющих общую точку, делят плоскость на 2n частей.

18. Докажите, что n плоскостей, из которых каждые три пересекаются, и никакие четыре не имеют общей точки, разбивают пространство на частей.

19. Докажите, что n окружностей, проведенных в одной плоскости так, что каждые две из них пересекаются в двух точках, и никакие три не имеют общей точки, разбивают плоскость на частей.

20. Докажите, что сторона правильного многоугольника, имеющего сторон, выражается через радиус R описанной около него окружности формулой .

21. Докажите, что если , , то .

22. Докажите неравенство

а)

б)

23. Докажите, что

24. Числа последовательности определяются следующими условиями . Докажите, что .

25. Пусть члены последовательности связаны зависимостью . Докажите, что если , то .

26. Докажите тождество: .

27. Последовательность Фибоначчи определяется условиями: . Докажите следующие соотношения:

а) б)

в)

28. Последовательность задана условием: . Докажите, что для всех n  N имеет место неравенство .

29. Найдите ошибки в следующих рассуждениях:

а) Всякое натуральное число равно следующему за ним натуральному числу. В самом деле, предположим, что k = k + 1 (I) и докажем, что k + 1 = k + 2 (II). Прибавляя к каждой части равенства (I) по единице, мы получим равенство (II). Мы показали, что если утверждение справедливо для n = k, то оно справедливо и для n = k + 1. Утверждение доказано.

б) При любом натуральном n справедливо неравенство . В самом деле, допустим, что неравенство справедливо при n = k, т.е. (I) и докажем, что оно справедливо для n = k + 1. Ясно, что (II) при любом натуральном k. Складывая неравенства (I) и (II), получаем , т.е. , чем утверждение доказано.

30. Докажите, что .

31. Докажите, что при любом натуральном n > 1 справедливо неравенство .