5.3 Методи побудови функцій корисності

Методи побудови функції корисності засновані на зіставленні вибору особи, яка приймає рішення між участю в ризикованому підприємстві в реальному житті і гіпотетичній грі - лотереї. Розглянемо лотерейний квіток, що позначимо літерою Т, який має два виграша. Кращий виграш – b (від англ. best) має ймовірність p, та гірший виграш - w (від англ. worst) має імовірність (1-p). Очікувана ціна лотереї Т(b, p; w) складає:

E[Т] = b*p + w(1-p). (5.2)

Очікувана корисність білету лотереї складає:

E[U(Т)] = U(b)p + U(w)(1-p), (5.3)

де U(b) і U(w) – корисність кращого та гіршого виграшів.

Вибір, що має зробити ОПР, відображається схемою²⁷, наведеною на рисунку 5.1.

Рисунок 5.1 – Схема вибору при побудові функції корисності

Щоб виявити функцію корисності керівника у ситуації прийняття рішення, йому пропонують зробити вибір між грошовою сумою х, що може бути отримана напевно²⁸, або лотерейним квитком Т. Відмітимо, що відповідно до зроблених позначок b > a > w. Зрозуміло, що коли ймовірність отримати кращий виграш велика p ≈ 1, людина обере лотерейний квіток та отримає виграш b, а в противному випадку, тобто якщо p ≈ 0, треба відмовитись від участі в грі та отримати грошову суму х, оскільки це краще, ніж гірший виграш w. Тоді, відповідно до аксіоми 3, має існувати така ймовірність p*, що ОПР виявіть байдужість до участі у лотереї та отриманні визначеної грошової суми: a  bp_a + w(1-p_a). Тобто корисність грошей дорівнює корисності участі в грі:

U(a) = U(b)p_a + U(w)(1-p_a). (5.4)

Але, оскільки згідно з визначенням U(w) = 0 і U(b) = 1, то підставив ці значення у (5.4), отримаємо: U(a) = p_a. Ймовірність p_a, при якій ОПР виявляє байдужість між одержанням суми грошей напевно й участю в лотереї і є корисність виграшу.

Змінюючи грошову суму a кілька разів та виявивши ймовірності p_a, отримаємо функцію корисності²⁹. Для забезпечення кращої порівнянності вибору між гіпотетичною грою та в бізнес ситуації, при побудові функції корисності потрібно враховувати ряд психологічних моментів. Наприклад, лотерею треба конструювати таким чином, щоб мінімальний та максимальний виграші відповідали тим сумам грошей, які фігурують у бізнес ситуації. Також треба мати на увазі, що функція корисності не є статичною, тобто її треба будувати для кожної ситуації прийняття рішень, якщо змінилось фінансове становище підприємства, пройшов істотний час з моменту попереднього виявлення функції корисності, або трапилось щось істотне у організаційному оточенні, що призвело до перегляду цілей, стратегій, та оцінки ситуації. Оскільки переваги мають суб'єктивний характер, то не можна використовувати функцію корисності, що побудовано для іншої особи.

5.4 Відношення до ризику та вигляд функцій корисності

Відносно ставлення до ризику люди можуть виявляти прихильність, байдужість, або несхильність. Функції корисності для різного ставлення до ризику ОПР наведені на рисунку 5.2. Точка b відповідає очікуваної ціні гри Т(a, 1/2; c), що приносить виграш a з імовірністю 1/2 і виграш c з імовірністю 1/2; b = E(T) = 1/2a+1/2c. Очікувана корисність гри дорівнює: E[U(T)] = (1/2)U(a) + (1/2)U(c). У випадку (A) ми маємо: E[U(T)] < U[E(T)], тобто людина віддасть перевагу пропозиції отримати напевно суму грошей, що дорівнює очікуваній ціні гри, над участю в самій грі. Така поведінка свідчить про несхильність до ризику. У випадку (B) – маємо E[U(T)] > U[E(T)], тобто людина віддасть перевагу пропозиції взяти участь у грі та відмовиться від суми, що дорівнює очікуваній ціні гри. Така поведінка свідчить про бажання прийняти ризик. Відношення до ризику особи, яка приймає рішення, визначає форму її функції корисності.

Рисунок 5.2 (A) - Опукла догори функція корисності при несхильності до ризику	Рисунок 5.2 (B) - Опукла донизу функція корисності при схильності до ризику

Визначення: ОПР не схильна до ризику, якщо вона воліє отримати напевно грошову суму, що дорівнює очікуваному виграшу лотереї замість участі у грі:

U[E(T)] > E[U(T)]. (5.5)

Особа, яка виявить байдужість між отриманням грошового еквіваленту лотереї та участю у грі, зветься нейтральною до ризику:

U[E(T)] = E[U(T)]. (5.6)

ОПР схильна до ризику у разі, коли корисність участі у лотереї вища, аніж корисність очікуваного виграшу лотереї:

U[E(T)] < E[U(T)]. (5.7)

Таблиця 5.1 – Властивості функцій корисності

Не схильність до ризику	Нейтральність до ризику	Схильність до ризику
опукла до гори	лінійна	опукла до низу

Теорема³⁰ (про форми функції корисності):

Особа, яка приймає рішення не схильна до ризику тоді і тільки тоді, коли її функція корисності опукла до гори; лінійна функція спостерігається у разі нейтральності до ризику; схильності до ризику відповідає опукла до низу функція, для всіх x  [w; b].

Наведемо доказ цієї теореми для випадку несхильності до ризику³¹: Розглянемо лотерею з виграшами та , що мають однакові ймовірності. Якщо ОПР не схильна до ризику, то участь у грі має бути менш привабливою, аніж отримання напевно грошового еквіваленту лотереї . Таким чином має виконуватися: . Розкладемо праву частину цього виразу в ряд Тейлора поблизу точки :

В граничному випадку, коли , цей вираз перетворюється в:

,

що дотримується лише у разі . Тобто ми отримали бажаний результат. ■

Якщо проаналізувати поведінку людей у реальному житті, то можна привести факти, коли ставлення до ризику може змінюватися. Найбільш поширений приклад, що можна зустріти в літературі, свідчить, що одна й таж сама людина може придбати страховий поліс та купувати лотерейні квітки. Тобто водночас проявляти несхильність до ризику та схильність. Одно з перших пояснень цього факту було наведено Мілтоном Фрідманом та Леонардом Севеджем [7]. Згідно до їхньої думки схильність до ризику залежить від існуючої кількості багатства. На погляд цих авторів при невеликих можливих відхиленнях багатства від існуючого рівня, людина виявляє несхильність до ризику, але, якщо можливо отримати значний виграш та підвищити соціально-економічний статус, відношення до ризику буде змінюватися. Графічно їх гіпотеза відносно форми функції корисності наведена на рисунку 5.3. Два сегменти опуклої до гори функції корисності перемежаються одним опуклим донизу.

Раціональним в їхньому погляді є думка, що міра несхильності до ризику має відрізнятися залежно від фінансового становища ОПР. Зрозуміло, що існує багато більш складних сучасних та ґрунтових поглядів щодо пояснення наведеного феномену, але вони виходять за межі припущень раціональності і в рамках посібника розглядатися не будуть.

Рисунок 5.3 – Функція корисності Фрідмана-Севеджа