5.5 Міра несхильності до ризику

Схильність або несхильність до ризику може мати різну інтенсивність. Вважається, що більшість керівників виявляють несхильність до ризику при прийнятті рішень, тому надалі увага буде приділена саме такому випадку. Розглянемо людину, яка зіткнулася з вибором за умов ризику. Припустимо, що особа має деякий початковий рівень багатства – w. Виграш (або програш) у разі здійснення випадкової події можна моделювати як володіння лотерейним квитком Т(x₁,p₁;x₂,p₂;…x_s). Якщо особа несхильна до ризику, то вона погодиться продати цей квіток (та позбутися ризику) за ціну трохи меншу ніж очікувана вартість лотереї E(x). Скиду, на яку згодна людина, називають премія за ризик. Позначимо її через RP. Очевидно, що для ризик-премії повинно виконуватися:

E[U(w + x)] = U[w + E(x) – RP] (5.8)

Очікувана корисність володіння певним багатством та лотереєю має дорівнювати корисності цього багатства та різниці між очікуваною ціною та ризик премією. Величину CE(w,x) = E(x) – RP називають грошовим (або детермінованим) еквівалентом лотереї.

Кеннет Ерроу [8] і Джон Пратт [9] незалежно один від одного запропонували міру несхильності до ризику³² для випадку невеликих відхилень від рівня багатства – w. Перепишемо (5.8) як:

E[U(w + E(x) + x - E(x))] = U[w + E(x) – RP]. (5.9)

Розкладемо обидві частини цього виразу в ряд Тейлора в околі w + E(x) до членів другого порядку малості. Ліва частина дає³³:

E[U(w + E(x) + x - E(x))] ≈ U(w + E(x)) + U'(w + E(x)) E[x - E(x)] + 

+ ½·U''(w + E(x)) E[(x - E(x))²] =

= U(w + E(x)) + ½·U''(w + E(x)) Var(x). (5.10)

Розклавши праву частину (5.9) отримаємо:

U(w + E(x) – RP] ≈ U(w + E(x)) + U'(w + E(x)) (– RP). (5.11)

Підставив (5.10) та (5.11) в (5.9) маємо:

U(w + E(x)) + ½·U''(w + E(x)) Var(x) =

=U(w + E(x)) + U'(w + E(x)) (– RP). (5.12)

Звідки находимо RP:

RP(w + x) = ½·Var(x) [- u''(w + E(x)) / u'(w + E(x))]. (5.13)

Вираз (5.13) можна використовувати для визначення премії за ризик у разі відносно невеликих можливих втрат або прибутків. Якщо очікуване значення випадкового виграшу E(x) = 0, то (5.13) спрощується: RP(w + x) = ½·Var(x) [- u''(w) / u'(w)]. Відношення другої похідної до першої взяте з негативним знаком називають коефіцієнтом абсолютної несхильності до ризику (ARA) Ерроу-Пратта. Також буває зручно використовувати зворотну величину, що дістала назву толерантність до ризику та виміряється в грошових одиницях:

t(w + x) = 1 / RP(w + x) = - u'(w)/u''(w) (5.10)

Функції RP(w + x) або t(w + x) вбирають в себе всю необхідну інформацію відносно ставлення до ризику, що закодована функцією корисності, а також уникає довільності вибору функції корисності з точністю до лінійного перетворення.

5.6 Важливі класи функцій корисності

Здається розумним припущення, що по мірі зростання багатства, міра несхильності до ризику має зменшуватися. Тобто маючи вищий рівень багатства людина може менше турбуватися про невеликі коливання його рівня і буде схильна зменшувати премію за позбавлення від ризику. Функції корисності можна розподіляти відповідно до того, чи буде зменшуватися несхильність до ризику та яким чином. Найбільш важливий та поширений клас функцій одержав назву HARA³⁴ (гіперболічна абсолютна несхильність до ризику). Цей клас характеризується лінійною толерантністю до ризику та включає лінійну, експоненціальну, логарифмічну та степеневу функції, що наведені в таблиці 5.2.

Таблиця 5.2 – Поширені функції корисності

	Функція корисності u(x)	Міра несхильності до ризику r(x) = - u''(x)/u'(x)	Толерантність до ризику t(x) = r(x)
Лінійна	u(x)=x	r(x) ≡ 0	t(x) ≡ ∞
Експоненціальна	u(x)=-e-rx	r(x) ≡ r	t(x) ≡ 1/r
Логарифмічна	u(x)=log(x+b)	r(x) = 1/(x+b)	t(x) = x+b
Степенева	u(x)=(1/c)(x+b)c, c<1, c≠0.	r(x) = (1 – c)/(x+b)	t(x) = (x+b)/(1 – c)

Вид функцій зображено на рисунку 5.4. Серед наведених функцій тільки логарифмічна та степенева мають властивість зменшення абсолютної несхильності до ризику. Експоненціальна функція має постійну абсолютну несхильність до ризику (CARA). Вважається що її не можна використовувати для репрезентації схильності до ризику, якщо маємо потенційно дуже широкий діапазон кінцевого багатства. Але у разі оцінки помірних виграшів її використання дуже зручне, тому ця функція набула широкого застосування в аналізі бізнес рішень.

Рисунок 5.4 – Вигляд функцій з сімейства HARA

Простота й інтуїтивна привабливість аксіом, елегантність уявлення відношення до ризику у формі властивостей функції корисності, і величезне число отриманих теоретичних результатів, призвели до домінування концепції очікуваної корисності. Вона стала, практично, єдиною для побудови моделей прийняття рішень в умовах ризику в економіці, дослідженнях операцій, теорії статистичних рішень і, навіть у філософії. Водночас, розвиток теорії прийняття рішень супроводжувався зростанням кількості емпіричних фактів, що свідчили про систематичне відхилення поведінки людини, від завбачення моделі очікуваної корисності. Це призвело до наростаючого протиріччя у галузі прийняття рішень між захисниками підходу застосування концепції очікуваної корисності, які роблять упор на "раціональність" аксіом та підкреслюють теоретичну значущість моделей, що були розроблені з використанням підходу, і протилежною стороною, що зміщає наголос на важливість емпіричних результатів, які свідчать про істотні відхилення вибору від аксіом раціональності, та які пропонують альтернативні методи.

Питання для самоконтролю:

1. Що мається на увазі, коли говорять про розумне прийняття рішень?

2. Які аксіоми теорії корисності Ви можете назвати?

3. Як визначається очікувана корисність?

4. Який вид має функція корисності за умови несхильності до ризику?

5. Як визначається премія за ризик?

6. Які види функцій корисності можна використовувати для відображення схильності до ризику ОПР?

7. Чому теорія корисності набула поширення серед економістів?

Література для поглибленого вивчення:

1. Ramsey Frank P. The Foundation of Mathematics. New York: Harcourt Brace, 1931.

2. J. von Neumann, and O. Morgenstern: Theory of games and economic behavior. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1944. (Джон фон Нейман и Оскар Моргенштерн: Теория игр и экономическое поведение. / Пер. с англ. - М.: Наука, 1970, 707с.)

3. Savage Leonard J. The Foundation of Statistics. New York: Wiley, 1931.

4. Льюс Р.Д., Райфа Х. Игры и решения. Введение и критический обзор. Пер. с англ. И.В. Соловьева. Под ред. Д.Б. Юдина М.: Изд-во иностранной литературы. 1961г.

5. Саати Т.Л. Математические модели конфликтных ситуаций. Пер. с англ. Под ред. И.А. Ушакова. - М.: Сов. Радио, 1977. - 304 с.

6. Shoemaker Paul J.H. The Expected Utility Model: Its Variants, Purposes, Evidence and Limitations. Journal of Economic Literature Vol. XX (June 1982), pp.529-563.

7. Friedman Milton and Savage Leonard J. The utility Analysis of choices involving risk, The Journal of Political Economy Vol. LVI (56), № 4, August, pp. 279-304, 1948. (Є переклад на російську мову: "О статье Милтона Фридмена и Леонарда Сэвэджа: Анализ выбора в условиях риска" /Пер. с англ. Мильчакова Н. Российский экономический журнал № 9, 1993, с.105-118.)

8. Arrow Kenneth J. Essays in the Theory of Risk-Bearing Markham Publishing Company, Chicago, 1971, 278p.

9. Pratt John W. Risk aversion in the small and in the large Econometrica Vol. 32, № 1-2, January-April, 1964, pp. 122-136.

10. Крушвиц Л. Финансирование и инвестиции. Неоклассические основы теории финансов / Пер. с нем. Под общей ред. В.В. Ковалева и З.А. Сабова – СПб: Издательство "Питер", 2000. – 400 с.