Розділ 5. Основи теорії корисності
Після вивчення матеріалу цього розділу Ви зможете:
аналізувати поведінку людини, яка приймає рішення щодо відповідності аксіомам теорії корисності;
дізнатися про модель очікуваної корисності;
будувати функцію корисності для ситуацій схильності або несхильності до ризику;
визначити міру несхильності до ризику.
5.1 Аксіоми теорії корисності
Підхід до опису поведінки людини, яка здійснює вибір за умов ризику, що інтуїтивно запропонував Бернуллі, через два сторіччя був аксіоматизований Френком Рамсеєм [1] у трактаті про філософію переконання, Джоном фон Нейманом і Оскаром Моргенштерном [2] у працях по теорії ігор, а також Леонардом Севеджем [3] у його роботі з основ статистичного виводу. Здійснюючи раціональний або розумний вибір в умовах ризику і невизначеності, ОПР25 дотримується певного логічно погодженого набору правил (аксіом). Аксіоми сформульовано на прикладі азартної гри – лотереї. Лотерея – це гра, в якій приймають участь шляхом придбання білету, що дає власнику шанс pi виграти грошовий приз xi. Лотерею позначають послідовністю виграшів та їх імовірностей, наприклад: [x1, p1; x2, p2; …; xn-1, pn-1; xn]. Для останнього виграшу вказувати ймовірність не треба, оскільки їх сума складає одиницю. Розглянемо набір аксіом теорії корисності26, що характеризують "розумну поведінку" особи:
Аксіома порівнювання. Будь-які дві альтернативи можуть бути порівнювані, тобто якщо є дві альтернативи, ОПР буде віддавати перевагу одній, або вони будуть для нього рівноцінні. Якщо позначити альтернативи як x і y, то x y, або x y, або x y. Тут символ означає, що x має перевагу над y, а символ означає, що обидва варіанти рівноцінні.
Аксіома транзитивності. Співвідношення переваги і рівноцінності для альтернатив транзитивні, тобто якщо є три альтернативи x, y і z і ОПР віддає перевагу альтернативі x перед альтернативою y і альтернативі y перед альтернативою z, то він віддає перевагу альтернативі x перед альтернативою z; а якщо йому рівноцінні x і y і y і z, то йому рівноцінні також x і z. Це записується в таким чином:
якщо x y і y z, то x z;
та якщо x ~ y і y ~ z, то x ~ z.
Аксіома безперервності переваги. Якщо x y і y z, то існує така імовірність здійснення x, і імовірність (1) здійснення z, що: x (1)z y.
Аксіома незалежності. Якщо дві альтернативи рівноцінні x ~ y, то вони взаємозамінні. Якщо особа байдужа між виграшами x та y, то вона також буде байдужа до двох лотерей, що відрізняються тільки цими виграшами:
[xp + z(1p)] ~ [yp + z(1p)].
Аксіома домінування. Для двох лотерей з однаковими виграшами перевагу має та, у якої імовірність кращого виграшу найбільша:
[b, p; w] [b, q; w], якщо p > q .
Аксіома приведення. Якщо в складеній лотереї в якості одного з виграшів пропонується участь в іншій лотереї, то першу гру за допомогою обчислення імовірностей можна привести до елементарної:
{x (1 )y (1 y} {x (1 y}.
5.2 Модель очікуваної корисності
Якщо людина здійснює вибір альтернатив в умовах ризику згідно наведеним вище аксіомам, то корисність, що вона приписує різним альтернативам може бути обчислена через математичне очікування визначеної їм корисності виграшів. Повертаючись до постановки задачі вибору за умов ризику, наведеної на початку попереднього розділу, маємо визначити очікувані корисності для кожної з альтернатив за формулою:
. (5.1)
Очікувана корисність альтернативи визначається як сума добутків корисностей виграшів на ймовірності здійснення цих виграшів. Слід обрати альтернативу, яка має максимальне значення корисності. Ця модель передбачає, що переваги ОПР можуть бути впорядковані та представлені речовинною функцією U(·), визначеною на цій множині. Особливість моделі полягає в лінійності функції переваги (5.1). Позитивне лінійне перетворення mU(·) + n; (m > 0; n R) не змінює розміщення переваг, тому домовились покласти, що корисність кращого виграшу дорівнює одиниці, а корисність найгіршого – нулю.
Слід зауважити, що розуміння корисності, надане в межах аксіом Неймана-Моргенштерна, відбиває переваги людини, на відміну від неокласичної економіки, де корисність визначає переваги.