7.2 Цінність неповної інформації

Аналогічні міркування дозволяють визначити цінність неповної або вибіркової інформації. Припустимо, що особі, яка приймає рішення, пропонують повідомити, чи буде поверхня незакритого предмета "гербом" або "решіткою". Якщо вона бажає одержати цю інформацію, то повинна заплатити за неї авансом, і нас цікавить, яка та розумна ціна, що можна заплатити за таку неповну інформацію. Питання полягає в тому, наскільки це повідомлення вплине на рішення про те, який предмет не накритий, або що саме можна почерпнути із такого повідомлення. Як і в попередньому випадку, особі, яка приймає рішення, слід визначити прибутки при одержанні різних можливих повідомлень і ймовірності настання подій. Потім вона визначить різницю очікуваних прибутків при одержанні інформації й апріорного очікуваного прибутку.

Припустимо, що експериментатор повідомить ОПР, що поверхня ненакритого предмета - "герб". Інтуїтивно ясно, що думка людини зміниться убік кістки, тобто Н₁.

Нагадаємо прийняті раніше позначення:

h - випав "герб";

t - випала "решітка";

Н₀ - означає твердження "не накрита монета";

Н₁ - означає твердження "не накрита кістка";

Визначимо умовні ймовірності подій:

Р(h|Н₀) = 1/2; (імовірність "герба" за умови, що не накрита монета);

Р(h|Н₁) = 4/6; (імовірність "герба" за умови, що не накрита кістка).

Оскільки дві події несумісні, то безумовну імовірність повідомлення h можна обчислити за формулою³⁸:

Р(h) = Р(h|Н₀) * Р(Н₀) + Р(h|Н₁) * Р(Н₁) = 1/2*1/2 + 4/6*1/2 = 7/12.

Щоб визначити нову вагу твердження Н₁, після отримання повідомлення h, використаємо теорему Байеса³⁹. Ймовірність події Н₁ за умови, що експериментатор зробив повідомлення h, повинна бути такою:

(7.2)

Підставив значення, знайдемо:

Р(Н₁|h) = (4/6*1/2) / (7/12) = 4/7; Р(Н₀|h) = 1 - 4/7 = 3/7.

Отже, якщо експериментатор робить повідомлення про те, що показується "герб" і якщо особа, яка приймає рішення, послідовна у своїх судженнях (відповідно до теорії імовірності), то імовірність, приписувана нею події Н₁, повинна збільшитись з 1/2 до 4/7.

Виконав аналогічні розрахунки для повідомлення t, одержимо:

Р(t) = Р(t|Н₀) * Р(Н₀) + Р(t|Н₁) * Р(Н₁) = 1/2*1/2 + 2/6*1/2 = 5/12.

Р(Н₁|t) = (2/6*1/2) / (5/12) = 2/5; Р(Н₀|t) = 1 - 2/5 = 3/5.

Таким чином, якщо повідомлення - "герб", то найкращою здогадкою є "не накрита кістка", і очікуваний прибуток дорівнює $(4/7). Якщо повідомлення - "решітка", те найкраща здогадка - "не накрита монета", а очікуваний прибуток дорівнює $(3/5). Ймовірності повідомлень h і t рівні відповідно 7/12 та 5/12. Очікуваний прибуток при даній вибірковій інформації дорівнює:

EP|SI = 7/12 * $4/7 + 5/12 * $3/5 = $7/12.

Очікувана ціна вибіркової інформації⁴⁰:

EVSI = EP|SI - EP = $7/12 - $1/2 = $1/12. (7.2)

де: EVSI - очікувана цінність вибіркової інформації⁴¹;

EP|SI - очікуваний прибуток при наявності вибіркової інформації;

EP - очікуваний прибуток при наявності лише апріорної інформації.

Як і слідувало очікувати, цінність вибіркової інформації менше цінності повної інформації.

Прагнення до певності в задачах прийняття рішень це одна з невід'ємних властивостей людини. Ми завжди бажаємо мати якнайбільше інформації щоб зменшити невизначеність і інтенсивність цього бажання може іноді перешкоджати діяти розумно коли виникає питання про придбання дорогої інформації. Навіть у такій простій задачі як із монетою і кісткою, важко прийти до раціонального рішення про покупку інформації без виконання певних обчислень. Цікаве спостереження, зроблене дослідниками свідчить про необґрунтований підхід до вирішення питання про цінність інформації. Величезна більшість випробуваних виявляється готова платити за інформацію більш того, що вона коштує відповідно до висновків теорії. Іншими словами, людям у більшості випадків не вдається витягти з даних усю корисну інформацію або зменшити невизначеність у тому ступені, у якому це можливо було б зробити при логічній узгодженості рішень.

Питання для самоперевірки:

1. Чому прагнуть отримати додаткову інформацію при прийнятті рішень?

2. Який існує загальний підхід для визначення цінності інформації?

3. Що називають очікуваною цінністю повної інформації?

4. Як визначається очікувана цінність неповної інформації?

Література для поглибленого вивчення:

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Уч. пособие для вузов. М.: Высш. школа, 1972, 368 с.

2. Моррис У.Т. Наука об управлении: байесовский подход. / Пер с англ. О.В. Редькиной, под ред. И.Ф. Шахнова. М.: Мир, 1971, 304 с.

3. Райфа Г. Анализ решений (Введение в проблему выбора в условиях неопределенности) / Пер. с англ. З.Н. Кравец / Под ред. С.В. Емельянова, - М.: Наука, 1977. - 408 с.