8.2 Комплексні показники ефективності

Існують різні підходи до складання комплексних показників ефективності [2]. Наприклад, можна побудувати співвідношення “добрих” факторів до “поганих”:

, (8.2)

де wi - множина величин, збільшення котрих бажано; wj - множина величин, збільшення котрих не бажано.

Цей метод заснований на неявному припущенні, що нестача в одному показнику завжди може бути скомпенсована за рахунок надлишку в іншому. Наприклад, мала продуктивність устаткування - за рахунок низької вартості. Це допущення може виконуватися, не завжди, і метод небезпечний, якщо значення величин в знаменнику прагне до нуля. Тоді критерій може звернутися в нескінченність.

Значного поширення при складанні рейтингів та порівнянні альтернатив набув метод складення зваженої суми факторів:

, (8.3)

Узагальнений показник складають у вигляді зваженої суми окремих показників w_i із вагою a_i, що відбиває його важливість. Для тих показників, що бажано збільшити, вибирають відповідно велику вагу. Деякі автори критикують такий підхід у силу його суб'єктивності. Вони стверджують, що якщо ваги вибираються довільно, то і "оптимальне" рішення, що витікає з них буде настільки ж довільним. Однак варто зауважити, що суб'єктивність у прийнятті рішень закладена ще на етапах визначення цілей і постановки проблеми, не говорячи вже про вибір показника ефективності і побудови математичної моделі.

Метод послідовних поступок [3] полягає в наступному: спершу всі показники ефективності w_i упорядковуються по ступені важливості; потім знаходять рішення, що звертає в максимум головний показник w₁ = w₁^*. Виходячи з практичних міркувань, з урахуванням низької точності вихідних даних, призначають "поступку" w₁, яку ми згодні зробити, щоб максимізувати решту показників. І так далі. Метод гарний тим, що тут ясно видно, ціною якої "поступки" в одному показнику досягнуто виграш в іншому і який розмір цього виграшу.

8.3 Метод аналізу ієрархій

Останнім часом велике поширення набув метод аналізу ієрархій [4]. Метод полягає в послідовній декомпозиції проблеми на все більш прості складові частини, доки ми досягнемо альтернативних рішень. Альтернативи порівнюються попарно поміж собою відносно до кожного з чинників, а результати заносять у матриці порівнянь. Надалі проводять певні обчислення, результатом яких є ступінь (інтенсивність) взаємодії елементів в ієрархії. Судження та ваги факторів особи, яка приймає рішення природним чином враховуються при проведенні парних порівнянь та складанні матриць. Метод аналізу ієрархій дозволяє вибрати альтернативне рішення, спрямоване на досягнення цілі, яка відповідає структурі переваг ОПР в найбільшій ступені.

Інтуїція і суб'єктивні оцінки є основним вихідним матеріалом, на підставі якого індивідуум одержує ясне уявлення про проблему. Тому судження про перевагу одного елемента над іншим і інтенсивність цих суджень можна використовувати для вираження внутрішніх почуттів і схильностей. Такий підхід до рішення проблеми вибору виходить із природної спроможності людей думати логічно і творчо, визначати події і встановлювати взаємозв'язки між ними. Відомо, що людині властиві дві характерних ознаки аналітичного мислення: одна - вміння спостерігати й аналізувати спостереження; друга - спроможність установлювати взаємозв‘язки між спостереженнями, оцінюючи інтенсивність взаємозв'язків, а потім синтезувати ці відношення в загальне сприйняття, об‘єкту, що спостерігається.

При використанні МАІ кількісні і якісні оцінки розглядаються в сукупності. Проблема присутності суб'єктивних суджень вирішується завдяки використанню попарних порівнянь чинників і визначенню їхніх ваг, на основі спеціальної шкали. У сукупності це дозволяє робити більш обґрунтовані рішення.

Розглянемо докладно етапи методу аналізу ієрархій⁴².

Етап 1. Окреслити проблему і визначити, що необхідно вирішити. Тобто, визначити чого ми прагнемо досягти (ціль), як ми будемо виміряти ступень досягнення цілі (критерії), та які альтернативні рішення ми маємо порівняти.

Етап 2. Структурувати проблему прийняття рішень і побудувати ієрархію, починаючи з вершини (цілі), через проміжні рівні (критерії, від яких залежать наступні рівні) до самого нижнього рівня (котрий за звичай є переліком альтернатив). У деякі ієрархії може бути включений рівень діючих сил (акторів), що розташований нижче рівня загальних критеріїв (іноді цей рівень загальних критеріїв може бути цілком відсутнім). Рівень визначає, який з акторів найбільшим чином впливає на результат. За цим рівнем для кожного актора може знаходитися рівень цілей акторів, за яким, у свою чергу, - рівень політик акторів і далі наприкінці рівень альтернативних рішень. Приклад проблеми прийняття рішень, що зображено у вигляді ієрархії наведено на рис. 8.1.

Рисунок 8.2 - Ієрархічний вигляд типової проблеми прийняття рішень.

Це типова проста проблема прийняття рішень. Наприклад, ми маємо обрати обладнання для виробничої лінії, яке можливо купити у трьох постачальників. Обираючи тип обладнання (альтернативи 1-3) ми враховуємо кілька факторів (критерії 1-4): ціна, експлуатаційні витрати, виробнича потужність, та репутація постачальника.

Етап 3. Побудувати матриці попарних порівнянь. Елементами матриць є числа, що виражають важливість (або відносний вплив) кожних двох складових проблеми відносно елементу, що примикає з верхнього рівню. Для наведеного приклада ми маємо порівняти кожну з альтернатив відносно обраних критеріїв (це дасть чотири матриці розміром 3х3), а також порівняти важливість цих критеріїв для досягнення цілі - обрання обладнання (це дасть одну матрицю розміром 4х4). Для проведення суб'єктивних парних порівнянь елементів розроблена спеціальна шкала, яка наведена в таблиці 8.1.

Таблиця 8.1 - Шкала відносної важливості

Інтенсивність відносної важливості	Визначення
1	Рівна важливість
2	Легка перевага одного над іншим
3	Слабка перевага одного над іншим
4	Помірна перевага одного над іншим
5	Значна перевага
6	Істотна перевага
7	Сильна перевага одного над іншим
8	Дуже сильна перевага
9	Безумовна перевага
Зворотні величини наведених вище чисел: (1; 1/2; 1/3; 1/4; 1/5; 1/6; 1/7; 1/8; 1/9)	Якщо при порівнянні однієї альтернативи з іншою отримано одне з вищевказаних чисел (наприклад 3), то при порівнянні другої альтернативи з першою одержимо зворотну величину (тобто 1/3)

Задаючи питання, який із двох критеріїв більш важливий для досягнення цілі, (або яка з двох альтернатив щонайкраще відповідає необхідному критерію) можна визначити елементи матриці попарних порівнянь. У строках та у стовпцях цих матриць записують назви компонентів, що маємо порівняти. Наприклад, матриця для порівняння альтернатив відносно якогось з критеріїв має вигляд:

Критерій № i	А1	А2	А3
А1	1	m12	m13
А2	m21	1	m23
А3	m31	m32	1

При заповненні матриці варто починати з лівого елемента і ставити запитання: на скільки він важливіше, ніж елемент вгорі? При порівнянні елемента із самим собою відношення дорівнює одиниці. Якщо перший елемент важливіше, чим другий, то використовується ціле число зі шкали, у противному випадку використовується зворотній розмір. У будь-якому випадку зворотні один одному відношення заносяться в симетричні позиції матриці. Отже, m_ij = 1 / m_ji. Тому ми завжди маємо справу з позитивними зворотносиметричними матрицями, і необхідно зробити тільки n(n - 1)/2 суджень, де n - загальне число порівнюваних елементів. В наведеному прикладі ми маємо заповнити п‘ять матриць попарних порівнянь.

У деяких випадках, коли елементи виміряються кількісно, то елементи матриці попарних порівнянь складаються як відношення величин. Наприклад, нехай ціна на обладнання дорівнює 10, 12 та 15 одиниць відповідно номерам альтернатив. Тоді елементами матриці порівнянь по критерію “Ціна” m₁₂ = 10 / 12; m₁₃ = 10 / 15; m₂₃ = 12 / 15.

Якщо елементи вимірюються за допомогою якісних оцінок, наприклад “репутація постачальника” то матриця порівнянь легко заповнюється за допомогою наведеної шкали.

Етап 4. Формування наборів векторів локальних пріоритетів, що виражають відносний вплив множини елементів на елемент рівня, що примикає зверху. Вектор пріоритетів, що може відбивати відносну силу (розмір, цінність, бажаність або ймовірність) впливу кожного окремого елемента находять через "рішення" матриць, кожна з яких має зворотносиметричні властивості. Для цього потрібно обчислити множину власних чисел - _i і векторів - _i для кожної матриці, а потім, обравши головний власний вектор, що відповідає максимальному власному числу _max, виконати його нормування, одержуючи тим самим вектор локальних пріоритетів.

Нехай А  [aij] - квадратна матриця nn; _i - власні значення (їх іноді називають характеристичні числа); _i - власні вектори матриці А. Власні значення знаходять як корені алгебраїчного рівняння n - го ступеня (характеристичного рівняння):

a ₁₁- a₁₂ …a_1n

a ₂₁ a ₂₁- …a_2n

det ( А -  E)     …………..……...…           = 0

a_n1 a_n2 a_nn-

Власні вектори знаходять як рішення рівняння: (А - _i E) _i = 0.

Проблема власних чисел і власних векторів є звісною в галузі чисельних методів. Існує велика кількість різних алгоритмів для пошуку власних значень і власних векторів квадратної матриці. Відповідні функції маються у багатьох програмах, наприклад MathCAD, Mathlab, Matematika.

У випадку, коли немає потрібних програм, можливо виконати приблизні обчислення. Одним із найкращих наближень до максимального власного значення є геометричне середнє. Його можна знайти перемножуючи елементи в кожному рядку і добуваючи корені n-го ступеня, де n- число елементів. Отриманий у такий спосіб стовпець чисел нормується шляхом ділення кожної компоненти вектора на їхню суму.

Для матриці А, елементи якої позначимо a_ij компоненти головного власного вектора (v) визначаються по наближеній формулі як середнє геометричне елементів відповідного рядка:

Знайдені компоненти власного вектора необхідно нормувати по формулі:

Етап 5. Ієрархічний синтез для зважування локальних пріоритетів вагами критеріїв. Щоб виявити глобальні пріоритети альтернатив необхідно скласти ще одну матрицю ||G|| елементами якої є вектори локальних пріоритетів кожної з альтернатив, розташовані відповідно до послідовності критеріїв. До кожного стовпця векторів цієї матриці вгорі дописується пріоритет відповідного критерію.

Критерії Альтернативи	К1	К2	К3	К4	Вектор глобальних пріоритетів
А1					G1
А2					G2
А3					G3

Пріоритети синтезуються, починаючи з рівня альтернатив. Локальні пріоритети перемножуються на пріоритет відповідного критерію на вищестоящому рівні і додаються по кожному елементу (рядку). Коротко кажучи, елементами вектора глобальних пріоритетів є добутки першої строки матриці ||G|| з кожною з нижче лежачих стрічок. Цю процедуру повторюють, доки не буде досягнуто рівня цілі. Наприкінці одержують складовий, або глобальний вектор пріоритетів альтернатив відносно цілі.

Етап 6. Вибрати альтернативу, що одержала найбільший глобальний пріоритет.

Метод аналізу ієрархій одержав широке поширення в практиці діяльності закордонних компаній, у тому числі в Росії. У 90-х роках у фахових журналах⁴³ по управлінню і прийняттю рішень відбулася широка дискусія між прихильниками і супротивниками методу. Компанія Expert Choice Inc. розробила програмний продукт з аналогічною назвою, що автоматизує введення даних і обчислення, необхідні для аналізу проблем із використанням МАІ. На сайті http://www.expertchoice.com компанії можна одержати демонстраційну версію програми, прочитати добірку статей, що обговорюють метод, і ознайомитися з базою даних ”Hierarchicon” по застосуванню методу в різних галузях діяльності. У 1999 році матеріали цієї бази були видані в паперовому варіанті.

Питання для самоконтролю:

1. Чим відрізняються багатокритеріальні рішення від однокритеріальних?

2. Які підходи до конструювання комплексного показника ефективності Вам відомі?

3. Перечисліть етапи методу аналізу ієрархій.

4. Як виконуються порівняння за допомогою шкали відносної важливості?

5. Як можна обчислити вектори локальних пріоритетів для порівнюваних елементів?

6. За яким алгоритмом складається матриця для обчислення векторів глобальних пріоритетів?

Література для поглибленого вивчення

1. Озерной ВМ. Принципы построения и использования много­критериальных задач принятия решений / Сборник трудов Института проблем управления "Проблемы принятия реше­ний" Вып. 5. М.: Институт проблем управления, 1974, с.3-15.

2. Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. - 2-е изд., стер. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. - 208 с.

3. Кини Р., Райфа Х. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. - М.:Мир, 1981. 560 с.

4. Саати Т., Кернс К. Аналитическое планирование. Организация систем: Пер. с англ. – М.: Радио и связь, 1991. – 224 с.