3.1.2. Уравнение движения лопасти.

Системы координат, определяющие пространственное положение вертолета.

Для начала рассмотрим необходимые системы координат.

Земная – оси этой системы координат и начало связаны с Землей и выбираются из условий задачи.

Связанная – с началом координат в центре масс вертолета. Ось направлена вверх параллельно оси вала несущего винта. Ось направлена вперед по направлению полета вертолета. Ось образует правую систему координат. Для перехода из земной системы координат в связанную с вертолетом применяется матрица последовательного перехода Эйлера

(3.6)

где , , –углы тангажа, крена и рыскания.

Связанная с втулкой несущего винта – с началом координат в центре втулки несущего винта. Оси данной системы координат параллельны осям системы координат .

Лопастные системы координат

Вращающаяся – с началом координат в центре втулки несущего винта. Оси этой системы координат получены путем поворота системы координат на угол азимутального положения лопасти .

Матрица перехода из невращающейся системы координат во вращающуюся

. (3.7)

Маховая – это система координат, связанная с комлем недеформированной лопасти. Начало находится в центре жесткости комлевого сечения лопасти с координатами , , , определенными относительно вращающейся с.к. Оси данной системы координат направлены по главным центральным осям комля лопасти. Данная система координат повернута относительно на три угла последовательных поворотов – углы взмаха, отставания и закручивания лопасти, характеризующие маховое движение лопасти. Матрица перехода из вращающейся системы координат в маховую будет иметь вид:

. (3.8)

Рис. 8. Системы координат, определяющие перемещения лопасти относительно вращающейся с.к.

Связанная с деформированным сечением лопасти – система координат с началом в центре жесткости расчетного сечения деформированной лопасти. Оси данной системы координат направлены по главным центральным осям  – ого сечения. Рассматриваемая система координат повернута относительно на три угла последовательных поворотов , определяющих деформации лопасти.

Для перехода из недеформированного в деформированное состояние используется матрица вида:

. (3.9)

Таким образом, определены все системы координат, применяемые при разработке математической модели движения упругой лопасти на податливом основании с учетом пространственного движения вертолета в пространстве.

Уравнения движения упругой лопасти на податливом основании

Лопасти НВ вертолета моделируются в виде ряда точек, обладающих массово–жесткостными характеристиками, на которые наложены условия, определяющие взаимосвязь перемещений, вызванных их деформациями и маховыми движениями.

Рис. 9. Земная и связанные системы координат

Уравнение абсолютного движения материальной точки массой относительно неподвижной системы отсчета в соответствии со вторым законом Ньютона будет иметь вид:

, (3.10)

где и – векторы соответственно внешних и внутренних сил, приложенных к -ой точке со стороны возмущенной среды и через соединения со стороны остальных точек, а – время. Вектор можно представить в виде суммы трех векторов (Рис. 9):

, (3.11) где , , – векторы радиусов: центра масс вертолета; центра втулки несущего винта относительно центра масс вертолета, центра масс расчетного сечения лопасти относительно центра втулки несущего винта.

Движение каждого элемента лопасти разбивается на переносное и относительное.

. (3.12)

Сумма векторов представляет собой переносное движение центра системы координат (втулка НВ), вращающейся с угловой скоростью . Вектор-радиус определяет движение центра масс -го расчетного сечения лопасти относительно центра втулки НВ в осях , вращающихся с угловой скоростью . Здесь – угловая скорость вращения системы координат относительно .

После проведения необходимых преобразований выражения для переносного и относительного движения запишутся в виде:

; (3.13)

Для того, чтобы выразить эти выражения через параметры, характеризующие режим полета вертолета, введем ряд обозначений:

Скорость полета вертолета традиционно задается в земной системе координат – , , . Тогда проекции скорости движения вертолета на оси связанной системы координат определяются соотношением

. (3.14)

Угловые скорости и ускорения движения вертолета относительно земной системы координат обозначены как:

(3.15)

Взаимное расположение центров масс вертолета и втулки НВ, называемое центровкой вертолета, задается параметрами , , .

Теперь можно раскрыть выражения для определения скоростей и ускорений центра втулки НВ в проекциях на оси системы координат :

; (3.16)

(3.17)

где – – производные по времени от соответственно.

Далее раскроем выражение, определяющее движение расчетного сечения лопасти относительно центра втулки НВ вертолета.

Обозначим проекции угловых скоростей и ускорений элемента лопасти на вращающуюся систему координат в виде

, . (3.18)

Ввиду того, что и представляют собой сумму вращательных движений вертолета и лопасти, тогда

(3.19)

(3.20)

где , – угловая скорость и ускорение вращения несущего винта вертолета.

Составляющие переносного ускорения, обусловленные вращением подвижных осей в подвижной (вращающейся) системе координат, можно записать в виде суммы двух выражений:

(3.21)

(3.22)

Кориолисово ускорение, обусловленное взаимодействием переносного и относительного движений

(3.23)

Относительные ускорения, скорости и перемещения элемента лопасти записываются как

(3.24)

Таким образом, выражения для определения скоростей и ускорений движения расчетного сечения относительно центра втулки НВ, в осях вращающейся с.к., можно записать следующем виде

, (3.25)

(3.26)

В качестве базовой была принята вращающаяся система координат . Поэтому итоговые уравнения движения расчетного сечения лопасти НВ с учетом движение вертолета в пространстве запишем в осях вращающейся системы координат.

(3.27)

(3.28)

В выражениях 3.27 и 3.28 остались нераскрытыми параметры, определяющие относительные ускорения, скорости и перемещения элемента лопасти. Эти перемещения определяются упругими деформациями и податливостью основания (заделки) лопасти. Существует ряд вариантов конструкций лопасти вертолета и способов ее крепления к валу несущего винта. Самыми распространенными являются следующие схемы:

• с шарнирной заделкой лопасти (имеются горизонтальный, вертикальный и осевой шарниры);

• с полужесткой заделкой лопасти (один или несколько шарниров заменяются эластомерными или упругими элементами на основе композитных материалов);

• с жестким креплением лопастей.

Под действием внешних нагрузок лопасть НВ вертолета имеет возможность:

• перемещаться, как абсолютно твердое тело, на расстояния и поворачиваться относительно комля на три угла последовательных поворотов – углы взмаха, отставания и закручивания лопасти, характеризующие маховое движение лопасти;

• деформироваться за счет упругости лопасти.

Таким образом, суммарное перемещение – ого расчетного сечения лопасти в осях вращающейся системы координат можно записать в виде

, (3.29)

где , ,  – перемещения за счет деформаций упругой лопасти относительно в осях системы координат ;

– матрица обратного перехода из системы координат во вращающуюся , полученная транспонированием матрицы .

Компоненты матрицы записываются в следующем виде:

Перемещения, вызванные деформациями упругой лопасти, записаны с использованием теории больших перемещений тонких стержней:

, , , (3.30)

где  – радиус – ого сечения лопасти,  – радиус комлевого сечения лопасти.

Скорости движения – ого расчетного сечения относительно вращающейся системы координат можно получить, продифференцировав выражение (3.29) по времени:

, (3.31)

где ;

Выражения для скоростей можно получить путем дифференцирования по времени соотношений (3.30):

;

; (3.32)

.

Относительные ускорения получены, дифференцированием выражения (3.32) по времени:

, (3.33)

где ;

Для получения соотношений, определяющих ускорения , необходимо продифференцировать по времени выражения (3.33):

(3.34)

Таким образом, определены все компоненты ((3.19), (3.21), (3.23)) уравнения движения упругой лопасти на податливом основании с учетом пространственного движения вертолета