4.3 Формула Байеса
Эта формула применяется при решении практических задач, когда событие A, появляющееся совместно с каким-либо из событий B1, B2, …, Bn, образующих полную группу событий, произошло и требуется провести количественную переоценку вероятностей гипотез B1, B2, …, Bn. Априорные (до опыта) вероятности P{B1}, P{B2}, …, P{Bn} известны. Требуется вычислить апостериорные (после опыта) вероятности, т. Е., по существу, нужно найти условные вероятности P{B1A}, P{B2A}, …, P{BnA}. Для гипотезы Bj формула Байеса выглядит так:
Раскрывая в этом равенстве P{A} по формуле полной вероятности (4.18), получаем
Пример 4.15. При условиях примера 4.14 рассчитать вероятности того, что в сборку попала деталь, изготовленная соответственно на первом, втором и третьем станке, если узел, сходящий с конвейера, качественный.
Решение. Рассчитаем условные вероятности по формуле Байеса:
для первого станка
для второго станка
для третьего станка
4.4 Формула Бернулли
Воспользуемся понятием сложного события, под которым подразумевается совмещение нескольких элементарных событий, состоящих в появлении или не появлении события A в i–м испытании.
Пусть проводится
n
независимых испытаний, в каждом из
которых событие A
может либо появиться с вероятностью p,
либо не появиться с вероятностью q
= 1 – p.
Рассмотрим событие Bm,
состоящее в том, что событие A
в этих n
испытаниях наступит ровно m
раз и, следовательно, не наступит ровно
(n
– m)
раз. Обозначим Ai
(i
= 1, 2, …, n)
появление события A,
a
– непоявление события A
в i–м
испытании. В силу постоянства условий
испытания имеем
P{A1} = P{A2} = … = P{An} = p,
P{
}
= P{
}
= … = P{
}
= 1 – p
= q
Событие A может появиться m раз в разных последовательностях или комбинациях, чередуясь с противоположным событием . Число возможных комбинаций такого рода равно числу сочетаний из n элементов по m, т. е. Cmn. Следовательно, событие Bm можно представить в виде суммы сложных несовместных между собой событий, причем число слагаемых равно Cmn:
Bm = A1 A2… Am m+1… +…+ 1 2… n – m An – m +1… An, (4.19)
где в каждое произведение событие A входит m раз, а – (n – m) раз.
Вероятность каждого сложного события, входящего в формулу (4.19), по теореме умножения вероятностей для независимых событий равна pmqn – m. Так как общее количество таких событий равно Cnm, то, используя теорему сложения вероятностей для несовместных событий, получаем вероятность события Bm (обозначим ее Pm,n):
,
(4.20)
где
число сочетаний из из
n
элементов по m,
q
= 1 – p.
Также коэффициенты Cnm
называют биномиальными коэффициентами,
поскольку они являются коэффициентами
в разложении бинома Ньютона.
Формулу (4.20) называют формулой Бернулли, а повторяющиеся испытания, удовлетворяющие условию независимости и постоянства вероятностей появления в каждом из них события A, называют испытаниями Бернулли, или схемой Бернулли.
Пример 4.16. Вероятность выхода за границы поля допуска при обработке деталей на токарном станке равна 0,07. Определить вероятность того, что из пяти наудачу отобранных в течение смены деталей у одной размеры диаметра не соответствуют заданному допуску.
Решение. Условие задачи удовлетворяет требования схемы Бернулли. Поэтому, полагая n = 5, m = 1, p = 0,07, по формуле (4.20) получаем
Пример 4.17. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность того, что из случайно взятых в этом месяце 8 дней 3 дня окажутся дождливыми?
Решение.
.
Пример 4.18. При проведении стрельб из орудия по щиту было зафиксировано десять промахов (т = 10) из пятисот выстрелов (п = 500).
Определить вероятность того, что при ста выстрелах будет ровно четыре промаха, если считать, что все выстрелы независимы и вероятность промаха в каждом выстреле одинакова.
Решение. Найдем вероятность промаха при одном выстреле по формуле
Р = т/п = 10/500 = 0,02.
Далее по формуле (4.20) найдем вероятность появления четырех промахов из ста выстрелов
Р4,100 = С4100 ⋅ 0,024 ⋅ 0,98100 – 4 = 0,0902.