6.4 Логарифмически нормальное распределение

Логарифмически нормальное распределение применяют дня описания наработки до отказа подшипников, электронных ламп и других изделий. К таким изделиям относятся те, у которых отказ наступает вследствие усталостного разрушения.

Это значит, что значения логарифмически нормальной случайной величины формируются под воздействием очень большого числа взаимно независимых факторов, причем воздействие каждого отдельного фактора «равномерно незначительно» и равновероятно по знаку.

Неотрицательная случайная величина распределена логарифмически нормально, если ее логарифм распределен нормально. Плотность распределения для различных значений σ приведена на рис. 6.6.

Рис. 6.6. Плотность логарифмически нормального распределения

Плотность распределения описывается зависимостью

, (6.16)

где М и  — параметры, оцениваемые по результатам п испытаний до отказа;

. (6.17)

Для логарифмически нормального закона распределения функция надежности выглядит так:

. (6.18)

Вероятность безотказной работы можно определить по таблицам для нормального распределения в зависимости от значения квантили

u_p = (lnx – M)/.

Математическое ожидание наработки до отказа

. (6.19)

Среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации соответственно равны:

; (6.20)

. (6.21)

При _х  0,3 полагают, что _х = _x, при этом ошибка не более 1%.

Часто применяют запись зависимостей для логарифмически нормального закона в десятичных логарифмах. В соответствии с этим законом плотность распределения

. (6.22)

Оценки параметров lg х₀ и  определяют по результатам испытаний:

, . (6.23)

Математическое ожидание М[X], среднее квадратическое отклонение _x и коэффициент вариации _х наработки до отказа соответственно равны:

; (6.24)

; (6.25)

. (6.26)

Пример 6.7. Определить вероятность безотказной работы редуктора в течение t =10³ ч, если ресурс распределен логарифмически нормально с параметрами lg t₀ = 3,6,  = 0,3.

Решение. Найдем значение квантили и по ней определим вероятность безотказной работы:

u_p = (lgt – lgt₀)/.

u_p = (lg 10³ – 3,6)/0,3 = – 2;

Р(t) = Ф₀ (u_p) = Ф₀ (– 2) = 0,0228.

6.5 Распределение Вейбулла

Закон Вейбулла-Гнеденко представляет собой двухпараметрическое распределение. Этот закон является универсальным, так как при соответствующих значениях параметров превращается в нормальное, экспоненциальное и другие виды распределений.

Они названы по фамилиям инженера В. Вейбулла, введшего эти распределения в практику анализа результатов усталостных испытаний, при описании экспериментально наблюдавшихся разбросов усталостной прочности стали, пределов ее упругости. и математика Б.В.Гнеденко (1912 – 1995), получившего такие распределения в качестве предельных при изучении максимального из результатов испытаний. 

Закон Вейбулла удовлетворительно описывает наработку до отказа подшипников, элементов радиоэлектронной аппаратуры, его используют для оценки надежности деталей и узлов машин, в частности автомобилей, а также для оценки надежности машин в процессе их приработки.

Плотность распределения описывается зависимостью

f(х) = x^{ – 1} exp(–x^), (6.29)

где  — параметр формы кривой распределения;  — параметр масштаба; е = 2,71828 — основание натурального логарифма.

График плотности распределения дан на рис. 6.7.

Функция распределения Вейбулла

F(х) = 1 – exp(–x^). (6.30)

Функция надежности для этого закона:

Р(х) = exp(–x^). (6.31)

Математическое ожидание случайной величины Х равно:

М_х = Г(1 + 1/) ^-1/2, (6.32)

где Г(х) — гамма-функция. Для непрерывных значений х

. (6.33)

Для целочисленных значений х гамма-функцию вычисляют по формуле

Г(х) = (х – 1)!; (6.34)

Г(х – 1/2) = 1·3·5 (2х – 3)π^1/2/2^х. (6.35)

Г(х + 1/2) = 1·3·5 (2х – 1) π^1/2/2^х. (6.36)

Дисперсия случайной величины равна:

D_x = ^-1/ [Г(1 + 2/) – Г²(1 + 1/)]. (6.37)

Рис. 6.7. Плотность распределения Вейбулла для  = 1

Широкое применение закона распределения Вейбулла объясняется тем, что этот закон, обобщая экспоненциальное распределение, содержит дополнительный параметр . Подбирая нужным образом параметры  и , можно получить лучшее соответствие расчетных значений опытным данным по сравнению с экспоненциальным законом, который является однопараметрическим (параметр ).

Так, для изделий, у которых имеются скрытые дефекты, но которые длительное время не стареют, опасность отказа имеет наибольшее значение в начальный период, а потом быстро падает. Функция надежности для такого изделия хорошо описывается законом Вейбулла с параметром  < 1.

Наоборот, если изделие хорошо контролируется при изготовлении и почти не имеет скрытых дефектов, но подвергается быстрому старению, то функция надежности описывается законом Вейбулла с параметром  > 1. При  = 3,3 распределение Вейбулла близко к нормальному.