6.6 Биномиальный закон распределения

В общей форме биномиальный закон распределения (распределения Бернулли) описывает осуществление признака в n испытаниях с возвратом: если производится n независимых испытаний, в каждом их которых случайное событие А может произойти или не произойти, причем вероятность события в каждом испытании постоянка и не равна ни нулю, ни одинице Р(А) = р = const, то вероятность появления события в этих испытаниях ровно m раз вычисляется по формуле:

, (6.38)

где - число сочетаний из из n элементов по m,

q = 1 – p – вероятность того, что событие А не появится в испытании.

Наглядной схемой таких испытаний является последовательный выбор с возвращением шаров из урны, содержащей m₁ белых и m₂ чёрных шаров. Если X – число появления белых шаров в выборке из n  m₁ + m₂ шаров, то для определения Р(Х) необходимо определить p, q – вероятность появления при одном извлечении соответственно белого и чёрного:

; q = 1 – p.

Основные характеристики биномиального распределения (математическое ожидание и дисперсия):

M[X] = np; D[X] = npq.

Пример 6.8. Вероятность получения бракованного изделия равна 0,01. Какова вероятность того, что среди 100 изделий окажется не более 3 бракованных?

Решение. Пусть p = 0,01; q = 0,99. Согласно биномиальному закону и закону сложения имеем

.

Пример 6.9. Кость бросают 5 раз. Какова вероятность того, что 6 очков выпадет дважды?

Решение. n = 5, m = 2. При этих условиях p = 1/6; q = 5/6.

0,16.

Вопросы для самоконтроля.

1. Характеристика закона распределения, описывающего постепенные отказы.

2. Характеристика закона распределения, описывающего внезапные отказы.

3. Характеристика закона распределения, описывающего случайные отказы.

4. Характеристика закона распределения, описывающего наработку на отказ.

5. Характеристика закона распределения, описывающего состояние элементов на этапе приработки.

7 Оценка надежности на основе статистической информации

Вопрос о выборе закона распределения является одним из ключевых на конечной стадии расчета надежности и носит характер принятия той или иной гипотезы. От принятой гипотезы будет зависеть достоверность полученных результатов, эффективность сделанных выводов и рекомендаций.

К сожалению, фактические наблюдения показывают, что изменчивость законов распределений встречается довольно часто, причем для одних и тех же объектов. Относительно небольшое изменение объема статистических данных, условий или режимов эксплуатации или даже качества изготовления деталей может повлиять на нулевую гипотезу, т.е. изменить либо параметры закона распределения, либо даже его вид.

При оценке надежности выделяют три основные области статистических методов обработки результатов наблюдений – описание данных, оценивание (характеристик и параметров распределений, регрессионных зависимостей) и проверка статистических гипотез.

Описание данных – предварительный этап статистической обработки. Используемые при описании данных величины (статистические данные) являются результатом наблюдений, (измерений, опытов, испытаний) и применяются в дальнейшем для оценивания и проверки гипотез. Функции этих результатов называют «статистиками». Статистики, являющиеся выборочными аналогами характеристик случайных величин (математического ожидания, медианы, дисперсии, моментов и др.) и используемые для оценивания этих характеристик, называют статистическими характеристиками.

Оценивание – это определение приближенного значения неизвестной характеристики или параметра распределения (генеральной совокупности), иной оцениваемой составляющей математической модели реального явления или процесса по результатам наблюдений. Иначе: необходимо по данным выборочного распределения оценить неизвестные параметры теоретического распределения.

Оценивание проводят с помощью оценок – статистик. Оценивание бывает двух видов – точечное и интервальное.