4 Элементы основ теории вероятностей

Методы теории вероятностей позволяют исследовать закономерности отказов как массовых случайных явлений. Однако они не дают возможности точно предсказать время возникновения отказ, поскольку оно представляет собой случайную величину. Кроме того, мы не можем определить точно, какой срок в состоянии проработать данное изделие, а способны лишь оценить ту вероятность, с какой оно проработает время, не меньше заданного числа t.

Математические законы теории вероятностей не являются беспредметными абстракциями, они выражают собой математическое выражение реальных закономерностей, фактически существующих в массовых случайных явлениях.

4.1 Классификация событий

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие события. Под событием понимают любой факт, который может произойти в результате опыта или испытания. Под опытом, или испытанием, понимается осуществление определённого комплекса условий.

Примеры событий:

– попадание в цель при выстреле из орудия (опыт – произведение выстрела; событие – попадание в цель);

– выпадение двух гербов при трёхкратном бросании монеты (опыт – трёхкратное бросание монеты; событие – выпадение двух гербов);

– появление ошибки измерения в заданных пределах при измерении дальности до цели (опыт – измерение дальности; событие – ошибка измерения).

События, как правило, обозначаются заглавными буквами латинского алфавита А, В, С и т д.

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в условиях данного опыта. Причины достоверного события очевидны и поддаются точному учету. Например, совершенно достоверным является факт работы исправного насоса, если к нему подключен исправный электромотор, к контактам которого приложено напряжение.

Событие называется невозможным, если оно не может произойти в условиях данного опыта. Например, событие, заключающееся в том, что из партии стандартных деталей будет взята стандартная деталь, является достоверным, а нестандартная – невозможным; если в сети отсутствует напряжение, то работа мотора, питающегося от этой сети, является событием невозможным.

Событие называется возможным, или случайным, если в результате опыта оно может появиться, но может и не появиться. Примером случайного события может служить выявление дефектов изделия при контроле партии готовой продукции, несоответствие размера обрабатываемого изделия заданному, отказ одного из звеньев автоматизированной системы управления.

Т.о., отказ и отсутствие отказа – это основные случайные события, изучаемые наукой о надежности.

События называются равновозможными, если по условиям испытания ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другие. Например, пусть магазину поставляют электролампочки (причем в равных количествах) несколько заводов-изготовителей. События, состоящие в покупке лампочки любого из этих заводов, равновозможны.

Важным понятием является полная группа событий. Несколько событий в данном опыте образуют полную группу, если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них. Например, в урне находится десять шаров, из них шесть шаров красных, четыре белых, причем пять шаров имеют номера. А – появление красного шара при одном извлечении, В – появление белого шара, С – появление шара с номером. События А, В, С образуют полную группу совместных событий.

Различают события совместные и несовместные. События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого. В противном случае события называются несовместными.

Например, подбрасываются две игральные кости. Событие А – выпадение трех очков на первой игральной кости, событие В – выпадение трех очков на второй кости. А и В – совместные события.

Пусть в магазин поступила партия обуви одного фасона и размера, но разного цвета. Событие А – наудачу взятая коробка окажется с обувью черного цвета, событие В – коробка окажется с обувью коричневого цвета, А и В – несовместные события.

Рассматривая случаи появления или отсутствия события А в большом числе испытаний, можно установить определенные закономерности появления этого события. Если при проведении n₁ испытаний событие А имело место т₁ раз, то относительную частоту появления события А определяют из соотношения

. (4.1)

Если событие А имело место в каждом из n₁, испытаний, т. Е. m₁ = n₁, то Р^*(А) = 1. Если событие А не наступило ни в одном из n₁, испытаний, т. Е. m₁ = 0, то Р^*(А) = 0. При проведении серии последовательных испытаний получим соотношения:

…; .

Относительная частота становится более устойчивой при увеличении числа испытаний. Такая закономерность была замечена давно и подтверждена результатами решения различных примеров. Самыми известными примерами являются примеры бросания монеты или игральной кости. Так, при большом числе бросаний монеты относительная частота выпадения герба равна 1/2 и равна относительной частоте выпадения цифры. При большом числе бросаний игральной кости относительная частота выпадения каждой стороны, на которой изображены цифры от 1 до 6, равна 1/6.

Приведенные примеры показывают, что существует постоянная величина (в нашем случае 1/2 или 1/6), около которой колеблется относительная частота свершения случайного события и к которой она все более приближается с увеличением числа испытаний. Постоянную величину, к которой приближается относительная частота случайного события, называют вероятностью случайного события А и обозначают символом Р(А).

Вероятность характеризует событие по степени его возможности. Вероятность есть численной мерой степени объективной возможности данного события.

Вероятностью случайного события называется число, около которого группируются частоты этого события по мере увеличения числа испытаний).

На практике при большом числе испытаний вероятность случайного события приближенно принимают равной относительной частоте этого события:

Р(А) ≈ Р^*(А).

Математическим основанием этого утверждения является закон больших чисел (Я. Бернулли) – вероятность отклонения относительной частоты некоторого события А от вероятности Р(А) этого события более чем на произвольно заданную величину ε > 0 становится сколь угодно малой, если число испытаний n неограниченно возрастает.

Таким образом, вероятность события Р(А) представляет собой число, заключенное в интервале от нуля до единицы, т. Е. справедливо неравенство

0 ≤ P(A) ≤ 1. (4.2)

Пример 4.1. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Решение. Обозначим A событие, состоящее в том, что набрана нужная цифра. Абонент мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число возможных исходов равно 10. Эти исходы единственно возможны (одна из цифр набрана обязательно) и равновозможны (цифра набрана наудачу). Благоприятствует событию A лишь один исход (нужная цифра лишь одна). Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех исходов:

P{A} = 1/ 10 = 0,1.

Введем понятие противоположного, или дополнительного, события. Под противоположным событием понимается событие, которое обязательно должно произойти, если не наступило некоторое событие А.

Противоположные события несовместны и единственно возможны. Они образуют полную группу событий. Например, если партия изготовленных изделий состоит из годных и бракованных, то при извлечении одного изделия оно может оказаться либо годным – событие А, либо бракованным – событие .