6 Законы распределения

Выбор закона распределения состоит в подборе аналитической функции наилучшим образом аппроксимирующей эмпирические функции надежности.

Выбор, в значительной мере, процедура неопределенная и во многом субъективная, при этом многое зависит от априорных знаний об объекте и его свойствах, условиях работы, а также анализа вида графиков Р(t), f(t), (t).

Задача о выборе закона распределения наиболее актуальна на этапе проектирования.

6.1 Нормальный закон распределения

Нормальный закон распределения часто называют законом Гаусса. Этот закон играет важную роль и наиболее часто используется на практике по сравнению с другими законами распределения.

Основная особенность этого закона состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения.

В теории надежности его используют для описания постепенных отказов, когда распределение времени безотказной работы в начале имеет низкую плотность, затем максимальную и далее плотность снижается.

Распределение всегда подчиняется нормальному закону, если на изменение случайной величины оказывают влияние многие, примерно равнозначные факторы.

Нормальный закон распределения описывается плотностью вероятности:

, (6.1)

Колоколообразная кривая плотности вероятности распределения приведена на рис. 6.1.

Рис. 6.1. Кривые плотности нормального распределения

Параметр  = М[X] представляет собой математическое ожидание (среднее значение) случайной величины X, определяемое, а параметр  – среднее квадратическое отклонение случайной величины X.

Математическое ожидание

; (6.2)

среднее квадратическое отклонение случайной величины X:

. (6.3)

Интегральная функция распределения имеет вид (рис. 6.2)

; (6.4)

вероятность отказа и вероятность безотказной работы соответственно Q(x) = F(x), Р(х) =1 – F(x).

Вычисление интегралов заменяют использованием таблиц нормального распределения, при котором М[X] = 0 и [X] = 1. Для этого распределения функция плотности вероятности имеет одну переменную t и выражается зависимостью

. (6.5)

Величина t является центрированной (так как М_t = 0) и нормированной (так как _t = 1). Функция распределения соответственно запишется в виде:

. (6.6)

Из этого уравнения следует, что F₀(t) + F₀(–t) = 1 или F₀(–t) = 1 – F₀(t).

Рис. 6.2. Вид функции нормального распределения

При использовании таблиц (Приложение 1) следует в формулу (6.5) вместо t подставить ее значение:

t = (x – М[X])/ [X];

при этом t называют квантилью нормированного нормального распределения (обычно обозначают и_р).

Плотность распределения и вероятность отказа соответственно равны:

f(х) = f₀(t)/; Q(x) = F₀(t);

тогда вероятность безотказной работы Р(х) =1 – F₀(t), где f₀(t) и F₀(t) определяют по таблицам.

В работах по надежности часто вместо интегральной функции распределения F₀(t) используют функцию Лапласса:

. (6.7)

Очевидно, что

. (6.8)

Вероятности отказа и безотказной работы, выраженные через функцию Лапласса:

. (6.9)

Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал значений от  до  вычисляют по формуле

(6.10)

С помощью выражения (6.10) и таблицы Ф*(х) можно определить вероятность попадання случайной величины в интервал значений от  до .

Нормальному закону подчиняются и случайные ошибки, возникающие при различного рода измерениях. Например, если получено значение , то этот результат свидетельствует о том, что 68 % ошибок не превышают величины среднеквадратической ошибки.

Пример 6.1. Определить вероятность безотказной работы в течение t = 2 10⁴ ч подшипника скольжения, если ресурс по износу подчиняется нормальному закону распределения с параметрами М_t = 4·10⁴ ч,  = 10⁴ ч.

Решение. Находим квантиль

u_p = (t – M_t)/

u_p = (2·10⁴ – 4·10⁴) / 10⁴ = – 2.

Для отрицательных значений t значение функции можно вычислить по формуле

Φ^*(u_p) = 1 – Φ^*(- u_p).

Φ^*(–2) = 1 – 0,9772 = 0,0228.

Пример 6.2. Пусть случайная величина Х представляет собой предел текучести стали. Опытные данные показывают, что предел текучести имеет нормальное распределение с параметрами М = 650 МПа,  = 30 МПа. Определить значение вероятность того, что полученная плавка стали имеет предел текучести в интервале 600  670 МПа.

Решение. Для определения вероятности воспользуемся формулой (6.8)

P (600 < X < 670) = Ф^*(670 – 650)/30 – Ф^*(600 – 650)/30 = 0,7454 – (1,0 – 0,9515) = 0,697.

Пример 6.3. Случайная величина X распределена по нормальному закону и представляет собой ошибку измерения датчика давления. При измерении датчик имеет систематическую ошибку в сторону завышения на 0,5 МПа, среднее квадратическое отклонение ошибки измерения составляет 0,2 МПа. Найти вероятность того, что отклонение измеряемого значения от истинного не превзойдет по абсолютной величине 0,7 МПа.

Решение. По формуле (3.17) с использованием таблиц определим

P (0,2 < X < 0,7) = Ф^*(0,7 – 0,5)/0,2 – Ф^*(0,2 – 0,5)/0,2 = 0,77.