7.3. Смо с потерями

Классический анализ СМО с потерями принадлежит А.К.Эрлангу. Он исследовал модель, представленную на рис. 7.2. Условия задачи:

И меется m обслуживающих приборов, каждый из которых доступен, когда он свободен, для любой заявки на обслуживание.

Заявки образуют простейший поток событий интенсивности  (7.3).

Длительность обслуживания одной заявки одним обслуживающим прибором подчиняется экспоненциальному распределению g(t)=  e^-t, t>0, (7.5)

Где 1/  – средняя длительность обслуживания.

4. Если в момент поступления заявки все приборы заняты, то заявка теряется.

Требуется определить вероятности p_k (t), k= 0,1,…, m, состояний системы, то есть вероятности того, что в любой момент времени t будет занято ровно k обслуживающих приборов.

Процесс функционирования данной СМО удобно представить марковской цепью. Она характеризуется вероятностями состояний и вероятностями переходов из одних состояний в другие.

Рассмотрим случай для m=2. Тогда система будет иметь три состояния: k=0 –свободны все приборы, k=1 - занят один прибор, k=2 – заняты оба прибора. Диаграмма переходов из состояния в состояние показана на рис. 7.3.

Для исследования поведения системы в любой момент времени составляют систему дифференциальных уравнений по методу , хорошо изложенному в учебнике Е.С. Вентцель. Решения указанных уравнений полезны для анализа переходных процессов в системе. В установившемся режиме анализ существенно упрощается: достаточно воспользоваться уравнением равновесного состояния

p_k-1= k  p_k (7.6)

О но сходно уравнению Кирхгофа в электротехнике и выражает тот факт, что интенсивность потока из любого состояния равна суммарной интенсивности потока в

это же состояние. Анализ удобно проводить по диаграмме переходов, представленной на рис.7.4.

Из (7.6) при k=1 имеем

p₀=p₁,

или p₁=p_0, (7.7)

где =/.

При к=2 из того же уравнения получаем:

.

В общем случае имеем

(7.8)

Следует также помнить, что

. (7.9)

Тогда, с учетом (4.8), получаем, что

. (7.10)

В итоге формула (4.8) принимает вид

. (7.11)

и называется формулой Эрланга.

Она дает предельный закон распределения числа занятых каналов в зависимости от характеристик потока заявок и производительности приборов обслуживания.

При k=m из (7.11) получаем вероятность того, что поступившая заявка найдет все приборы занятыми, то есть вероятность отказа p_отк = p_m.

Если в системе только один прибор, то вероятность свободного состояния:

. (7.12)

Вероятность отказа

. (7.13)

Среднее число попыток получить доступ к обслуживаемому прибору

. (7.14)

7.4 Смо с ожиданием

Условия задачи отличаются от рассмотренных в разделе 4.3 тем, что здесь предусмотрена очередь для заявок, заставших все приборы обслуживания занятыми. От этого меняется число возможных состояний системы: еще добавляются состояния, определяемые, числом заявок в очереди, а очередь может быть до бесконечности. Возникает необходимость определения времени нахождения заявок в очереди, числа заявок в очереди.

Рассмотрим подробно СМО с ожиданием с одним прибором обслуживания и бесконечной очередью. Для нее диаграмма переходов из состояния в состояние показана на рис 7.5.

В этой системе интенсивность перехода « вверх» равна  , а «вниз» – равна .

Уравнение равновесного состояния имеет вид P_n-1 = P_n.

Отсюда:

P_n= P_n-1=… ⁿp_o, (7.16)

, (7.17)

p₀=1-, (7.18)

p_n=ⁿ(1-). (7.19)

Из (4.18) можно заключить, что величина  характеризует коэффициент использования прибора.

Среднее число требований в системе

N= . (7.20)

Существует теорема Литтла, которая утверждает, что в равновесном состоянии среднее число N требований (заявок) в системе и среднее время T нахождения заявки в системе связаны соотношением

N=T. (7.21)

Теорема имеет широкий диапазон применений. С учетом ее, для нашего примера (4.20) получаем

. (7.22)

Среднее время нахождения заявки в очереди

. (7.23)

Среднее число заявок в очереди определяется по теореме Литтла

. (7.24)

Если число приборов в СМО равно m , то имеем два равновесных уравнения:

p_n-1= n p_n n m

p_n-1= m p_n n>m. (7.25)

Из них получаем

nm

n>m (7.26)

Вероятность того, что все приборы будут заняты и надо вставать в очередь, равна

. (7.27)

Среднее число заявок в очереди

N_Q = . (7.28)

Отношение

. (7.29)

По теореме Литтла:

, (7.30)

, (7.31)

. (7.32)

Вероятность встать в очередь определяется формулой

, (7.33)

которая называется 2-ой формулой Эрланга.