Колебания в идеальном газе

Рассмотрим колебания в газе, происходящие вдоль одной оси х. В отличие от струны частицы газа смещаются здесь в продольном направлении, и величины смещения мы будем обозначать тем же символом u(x,t).

Рассмотрим элементарный объем газа V₀, ограниченный сечениями 1 и 2, находящимися в точке с координатами х и х+х (рис. 3.2). Масса газа в объеме равна m=?Sx, где  – плотность газа, a S – площадь поперечного сечения. В стационарном состоянии давление газа равно р₀.

Рис. 3.2. Колебания в газе

При колебаниях выделенный объем смещается в новое положение между сечениями 1' и 2' с координатами и Объем газа в новом положении становится равным

а давление в нем – р. Найдем это давление.

Колебательные процессы в газах происходят достаточно быстро, так что можно считать, что элементарный объем не успевает обмениваться теплотой с соседними объемами. Значит, процесс можно считать адиабатным. Записываем уравнение этого процесса:

или

откуда

(3.4)

Здесь  – показатель адиабаты, зависящий от вида газа. Мы использовали также малость производной

для разложения в ряд:

Составим теперь уравнение движения элементарного объема. Его ускорение равно

Сила, действующая на объем, определяется разностью давлений в сечениях 1' и 2':

(3.5)

Подставляя сюда выражение для давления р находим:

(3.6)

Записываем теперь уравнение второго закона Ньютона

или

(3.7)

Это уравнение можно представить в виде:

(3.8)

где

(3.9)

Величина v имеет размерность скорости. Уравнение колебаний газа совпало с уравнением колебаний струны (3.2), хотя они описывают процессы в совершенно различных физических системах.

 Колебания в твердых телах

Колебательные процессы в твердых телах похожи на колебания в газах. На рис. 3.3 представлена продольная деформация твердого тела в направлении оси х.

Рис. 3.3. Продольные колебания в твердом теле

Относительная деформация элементарного объема при смещении u равна

Согласно закону Гука, это приводит к появлению упругой силы

(3.10)

где Е – коэффициент (модуль Юнга), характеризующий жесткость среды. Равнодействующая сил упругости, действующих в сечениях 1' и 2' равна:

(3.11)

Записывая второй закон Ньютона в виде:

(3.12)

находим уравнение колебаний в твердом теле:

(3.13)

где

(3.14)

 

Размерность модуля Юнга совпадает с размерностью давления, так что v  и здесь имеет размерность скорости.

Выше мы рассматривали продольные смещения в твердом теле. В отличие от газов, упругие силы возникают в твердых телах и при деформации сдвига. Уравнение для таких поперечных колебаний имеет тот же вид (3.13), но вместо модуля Юнга в выражении для v будет стоять так называемый модуль сдвига G:

(3.15)

Механизм распространения продольных и поперечных колебаний показан на рис. 3.4 и 3.5.

Рис. 3.4. Продольные волны в твердом теле

Рис. 3.5. Поперечные волны в твердом теле