Интервалы

Разберемся, что происходит, когда одновременно берутся две ноты. Нижний по высоте звук называется основанием интервала, верхний – его вершиной. Пусть основанию соответствует частота ₁ при звучании струны на этой ноте неизбежно будут возбуждаться и первые обертоны с частотами ₂ =2₁, ₃=3₁, ₄=4₁. Если теперь одновременно с первой нотой взять другую, образующую с первой интервал в октаву (соответствующая ей частота равна ₂=2₁), то на ней тоже будут возникать обертоны с частотами ₄=2₂=4₁, _6=3₂=6₁ и т.д. Мы видим, что состав созвучия в сущности не изменился – добавление новой ноты не прибавило новых обертонов. Поэтому октава и звучит почти как одна нота, абсолютный консонанс.

«Примесь» второй гармоники всегда существует при колебании любого вибратора, и, может, это и есть причина того, что наше ухо воспринимает одинаковые ноты в разных октавах как звучащие в унисон, как, в сущности, ту же самую ноту. В этом, видимо, заключена физическая основа аксиомы эквивалентности Рамо, само понятие октавы как некой меры периодичности музыкального звука, когда начинают повторяться те же самые ноты.

Попутно мы установили, что нота, соответствующая частоте ₃=3_1тесно связана с первоначально взятой нотой – так или иначе, но этот звук уже присутствует в изначальном как его третья гармоника. Но по теореме эквивалентности этой ноте в предыдущей октаве соответствует частота _1quint=3₁/2. Таким образом, интервал, где основанию соответствует частота ₁, а вершине – частота _quint=3₁/2, будет благозвучным. Такой интервал называется, напомним, квинтой, и отношение частот вершины и основания в квинте в точности равно 3/2.

Возьмем теперь благозвучную квинту – двузвучие с частотами _{1 }и _quint=3₁/2, – и добавим к нему третью ноту, составляющую октаву с основанием. Ее частота равна 2₁. По теореме эквивалентности, благозвучие этого созвучия не нарушится. Но если благозвучен интервал между основанием и третьей нотой (октава) и благозвучен интервал между основанием и вершиной двузвучия (квинта), то должен быть благозвучен и интервал между вершиной и третьей нотой. Соответствующее отношение частот равно ₂/_quint=2₁/(3₁/2)=4:3. Такой интервал называется, как мы помним, квартой. Если за основание интервала взять все ту же ноту с частотой ₁, то кварту с ней образует нота, звучащая на частоте _quart=4₁/3.

В принципе, эти отношения целых чисел можно было бы положить в основу построения музыкальной шкалы. Но тогда возникнет проблема с транспонированием мелодии.

Попробуем построить одну октаву гипотетической музыкальной шкалы, а) основанной на отношении целых чисел и б) допускающей транспонирование мелодии. Пусть эта шкала содержит какую-то ноту с частотой . Тогда в ней должна содержаться также и нота, образующая с исходной интервал в октаву (2). Пусть также в шкале имеется еще одна нота, образующая с первой, например, чистую квинту (3/2). Тогда шкала должна содержать и ноту, отстоящую от первой на две квинты: ее частота равна (3/2)²=9/4, а понижение на октаву дает нам ноту 9/8. Понижение на октаву комбинации трех квинт приводит к ноте с частотой /(3/2)³/2=27/16, понижение на две октавы комбинации четырех квинт приводит к частоте 81/64 и т.д. Продолжая этот процесс, мы получим бесконечное число нот в пределах одной октавы, ибо никакая степень тройки не станет равной какой-то степени двойки (нечетное число не может быть равным четному). Значит, описанная процедура будет приводить все к новым и новым нотам, которые необходимо включить в шкалу. Тот же результат получается, если строить шкалу на основе кварт, а не квинт. Таким образом, требования а) и б) к музыкальной шкале оказываются несовместимыми. Надо отказаться от одного из них, и проще пожертвовать отношением целых чисел для совершенных консонансов, приобретая свободу выбора тональностей и легкость транспонирования мелодий.

Поэтому музыканты отказались от настройки своих инструментов по закону отношения целых чисел, и перешли к равномерной темперации. При этом частоты совершенных консонансов воспроизводятся приблизительно. Например, в равномерно темперированной шкале квинте соответствует интервал в 7 полутонов: 2^7/12=1.4983, что лишь на 0.1% отличается от чистой квинты (отношения 1.5). Таков интервал, например, между нотами «до» и «соль». Кварте соответствует интервал в 5 полутонов: 2^5/12=1.3348, что отличается от чистой кварты (1.3333) также на 0.1% (опытному уху слышны даже столь малые отличия от идеальных интервалов).

Было бы интересно обсудить физические принципы, лежащие в основе мажорного (до–ми–соль) и минорного (до–ми бемоль–соль) трезвучий, но это увело бы нас слишком далеко от физики, к которой пора возвращаться. Мы надеемся, однако, что музыкальные примеры помогли усвоить важные понятия высших гармоник и спектра колебаний, с которыми нам еще предстоит встретиться.