2.3. Резонансные явления

Изучая вынужденные колебания, мы видели, что при =_рез амплитуда колебаний заряда резко увеличивается. Резонансная частота чуть меньше собственной частоты колебаний в контуре:

(2.20)

При этой же частоте максимума достигает амплитуда колебаний напряжения на конденсаторе Выражение для тока получается дифференцированием решения q(t) для заряда, что дает в амплитуде лишнюю зависимость от частоты . Поэтому резонансная частота для тока будет отличаться от _pез.

Резонанс напряжений

Как следует из (2.13), амплитуда тока достигает максимума при таком значении внешней частоты, когда обращается в нуль реактивное сопротивление: откуда Тогда угол  равен нулю, а изменение тока и напряжения происходят синхронно. В этом случае полное сопротивление Z=Z_min=R, и амплитуда тока достигает максимального значения При этом падения напряжения на емкости и индуктивности равны по величине (U_C = U_L) и противоположны по фазе, так что они взаимно компенсируются. Это явление называется резонансом напряжений. Амплитуда напряжения на конденсаторе при таком резонансе равна

(2.21)

Мы получили, что при резонансе напряжений отношение амплитуды напряжения на конденсаторе к амплитуде внешнего напряжения равна добротности контура. Резонансная кривая для тока (рис. 2.5) отличается от кривой (см. рис. 1.23) для заряда.

Рис. 2.5. Резонансные кривые для амплитуды переменного тока. При малых и больших частотах кривые ток стремится к нулю. Положение максимума не зависит от затухания в цепи

Резонанс токов

В предыдущем разделе мы включили генератор внешнего напряжения последовательно в электромагнитный контур. Сейчас мы займемся резонансом в случае, когда контур подключен к генератору параллельно.

Рассмотрим цепь, состоящую из двух параллельных ветвей, одна из которых содержит емкость C, а вторая индуктивность L и активное сопротивление R (рис. 2.6-1).

Рис. 2.6. Цепь переменного тока, содержащая активное сопротивление, емкость и индуктивность, при параллельном подключении внешнего напряжения: 1   электрическая схема; 2   векторная диаграмма

При последовательном подключении внешнего напряжения U (рис. 2.4) для всех элементов цепи (L, C, R) величина силы тока была одной и той же, и задача сводилась к сложению величин напряжения на индуктивности, емкости и сопротивлении.

В рассматриваемом случае (см. рис. 2.6-1) общим является напряжение между точками a и b для обеих ветвей цепи, а силы тока в ветвях I_C и I_L различны. Согласно первому правилу Кирхгофа, полная сила тока в узле I=I_C+I_L, поэтому задача сводится к сложению токов (рис. 2.6-2).

Изобразим колебания напряжения между точками a и b векторами, направленными вдоль линии U (ось напряжений, см. рис. 2.6-2). Тогда колебания тока в цепи, содержащей индуктивность и активное сопротивление, изобразятся вектором I_L0, длина которого равна

(2.22)

а угол его наклона _L к оси напряжений находится из условия

(2.23)

В отсутствие конденсатора ток отстает по фазе от напряжения, что и отображено на рис. 2.6-2.

Колебания тока в другой ветви цепи, содержащей емкость C, изобразятся вектором I_C0 При чисто емкостном сопротивлении ток опережает по фазе напряжение на /2. Соответствующий вектор на рис. 2.6-2 повернут относительно оси напряжений на угол +/2, а его длина (амплитуда) равна

(2.24)

Колебания полного тока I определятся векторной суммой токов I_C0 и I_L0, то есть вектором I.

Если в цепи, изображенной на рис. 2.6-1, изменить L, C, R и , то при некотором соотношении между этими величинами сдвиг фаз  между полным током и напряжением станет равным нулю и, следовательно, контур будет вести себя как чисто активное сопротивление (рис. 2.7). Этот частный случай называется резонансом токов.

При резонансе полный ток становится минимальным. Следовательно, при резонансе токов сопротивление контура достигает наибольшего значения. В отличие от случая резонанса напряжений, оно не равно активному сопротивлению в цепи R, а зависит от величин L и C.

Рис. 2.7. При резонансе токов контур ведет себя как активное сопротивление: сдвиг фаз между результирующим током и напряжением отсутствует

Найдем условие, при котором наступает резонанс токов. Из рис. 2.7 следует, что

(2.25)

где

(2.26)

Следовательно, можно записать

откуда

(2.27)

При малом затухании колебаний резонансная частота то есть в этом случае для резонанса токов (как и для резонанса напряжений) частота колебаний внешнего напряжения должна совпадать с частотой _ собственных колебаний контура.