1.7. Вынужденные колебания

В случае вынужденных колебаний система колеблется под действием периодической внешней (вынуждающей) силы. За счет работы этой силы компенсируются потери энергии системы. Частота вынужденных колебаний зависит от частоты изменения внешней силы (вынуждающей частоты). Практически наиболее интересным является случай, когда вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону:

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Это явление называется резонансом.

Резонанс  это явление резкого увеличения амплитуды вынужденных колебаний при определенной частоте внешнего воздействия, называемой резонансной частотой системы.

Явление резонанса используется для усиления колебаний, например электрических. Однако при конструировании машин и сооружений необходимо учитывать явление резонанса, чтобы предотвратить нежелательные последствия резонансного увеличения амплитуды вынужденных колебаний.

Для пружинного маятника уравнение вынужденного колебательного движения имеет вид:

(1.83)

или

(1.84)

где и   – вынуждающая частота.

Если рассматривать электрический колебательный контур, то компенсировать потери энергии в контуре можно с помощью подводимой извне периодически изменяющейся по гармоническому закону ЭДС или переменного напряжения

Рис. 1.25. Вынужденные колебания в электромагнитном контуре

Уравнение колебаний в контуре (рис. 1.25) можно записать, используя закон Ома для замкнутой цепи или, с учетом, что

Где

– собственная частота контура,

– коэффициент затухания, a

Таким образом, вынужденные колебания в электрическом контуре описываются тем же самым линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка, что и в случае колебаний пружинного маятника. Предположим, что нам известно хотя бы одно решение этого уравнения – некое частное решение q_BblH(t). Тогда разность любого другого решения q(t) и этого частного решения q_BblH будет удовлетворять однородному уравнению (с нулем в правой части), которое мы подробно изучили в предыдущем разделе. Поэтому общее решение уравнения (1.87) может быть записано как

(1.88)

где – частота свободных затухающих колебаний.

С течением времени из-за экспоненциального множителя ехр(-t) роль второго слагаемого уменьшается (оно важно на начальной стадии установления колебаний). По прошествии достаточно большого времени им можно пренебречь, сохраняя лишь первое слагаемое. Таким образом, задача исследования вынужденных колебаний сводится к нахождению хотя бы одного частного решения уравнения (1.87). Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде гармонической функции, частота изменения которой совпадает с частотой вынуждающей силы:

(1.89)

Подставим q_ВЫН в уравнение (1.87):

(1.90)

Так как функции синуса и косинуса линейно независимы, коэффициенты при них в левой части (1.90) должны быть равны нулю:

(1.91)

Решение этой системы имеет вид:

(1.92)

 Решение (1.89) с коэффициентами (1.92) можно записать в стандартном виде:

(1.93)

где

(1.94)

и

(1.95)

Рассмотрим отклик системы на изменение частоты внешней силы. Под квадратным корнем в выражении для амплитуды стоит квадратичная функция частоты

Эта функция имеет минимум (а значит, амплитуда имеет максимум).

Для нахождения точки минимума дифференцируем функцию f() по   и приравниваем производную нулю. В итоге получаем следующие выражения для резонансной частоты

(1.96)

и амплитуды вынужденных колебаний при резонансе

(1.97)

Следует отметить, что при <<₀ значение резонансной частоты _рез практически совпадает с собственной частотой ₀ колебательной системы. Поскольку  стоит в знаменателе выражения для A_рез, амплитуда колебаний в резонансе растет с уменьшением затухания. На графике 1.26 видно, что чем меньше затухание, тем выше и правее лежит максимум резонансной кривой.

Рис. 1.26. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы

При увеличении частоты внешнего воздействия амплитуда стремится к нулю: Физически это понятно: система обладает некой инерционностью и не успевает следовать за быстрыми изменениями внешнего воздействия. В другом предельном случае малой внешней частоты мы имеем дело со статическим случаем – действием постоянной внешней силы F₀ на пружинный маятник, подсоединением контура к источнику с постоянным напряжением U_m. В этом случае предельное значение амплитуды вынужденных колебаний равно и не зависит от затухания. Последнее вполне естественно, так как затухание (сила сопротивления) проявляется только при движении системы, а не в статическом пределе. В случае механических колебаний

(1.98)

что равно удлинению пружины под действием постоянной силы F₀.

В случае электромагнитных колебаний в контуре

(1.99)

что равно заряду на конденсаторе при подсоединении его к источнику постоянного напряжения U_m.

Найдем отношение резонансной амплитуды к статической:

(1.100)

Иными словами, добротность Q характеризует также резонансные свойства колебательной системы. На рис. 1.27 показана модель механической системы, с помощью которой исследуются законы вынужденных колебаний.

Рис. 1.27. Модель механической системы, в которой протекают вынужденные колебания