1.6. Свободные затухающие колебания

Гармонические колебания, существующие вечно, являются одной из физических абстракций. В реальных системах колебания по прошествии некоторого времени затухают из-за диссипации энергии. Таким образом, представлением о гармонических колебаниях можно пользоваться лишь для времен, малых по сравнению с характерным временем затухания. Затухание колебаний всегда будет наблюдаться в системах с трением.

Уравнение затухающих колебаний

Рассмотрим в качестве примера пружинный маятник, помещенный в вязкую среду. Помимо силы упругости на тело будет действовать сила сопротивления, пропорциональная скорости

где r – соответствующий коэффициент, зависящий от вязкости среды, размеров и формы тела. Поэтому уравнение движения примет вид:

(1.62)

или

(1.63)

 

Другой пример – электромагнитный контур. Если помимо конденсатора С и индуктивности L в контуре имеется еще и активное сопротивление R, то ЭДС самоиндукции равна сумме напряжения на конденсаторе и падения напряжения на сопротивлении. Поэтому уравнения (1.15) примут теперь вид:

(1.64)

Подставляем первое уравнение во второе:

(1.65)

или

(1.66)

Напомним, что комбинация L/R уже встречалась нам в теории электромагнетизма, где она характеризовала характерное время затухания (появления) экстратоков замыканияразмыкания. Таким образом, величина  имеет размерность []=с^-1, совпадающую с размерностью циклической частоты.

Анализ решений

Итак, в обоих рассмотренных случаях дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы имеет вид:

(1.67)

где x – переменная (смещение, заряд, ток), описывающая колебания,  – коэффициент затухания, a ₀ – циклическая частота свободных (собственных) незатухающих колебаний (то есть при =0, при отсутствии потерь энергии). Сведем новую задачу к предыдущей. Для этого вместо переменной x определим новую переменную X, связанную с x соотношением:

(1.68)

Дифференцируя функцию x(t), получаем:

(1.69)

Подставляем эти выражения в (1.67):

(1.70)

Выражение в квадратных скобках должно быть равно нулю. Замечаем, что в этом выражении сокращаются члены с первой производной dX/dt  Получаем в итоге дифференциальное уравнение для функции X(t):

(1.71)

Здесь возможны два случая. Пусть сначала <₀. Тогда можно ввести параметр

так что уравнение (1.71) примет вид:

Но это – стандартное уравнение гармонических колебаний, общее решение которого мы знаем:

Значит, мы нашли общее решение уравнения затухающих колебаний (1.67):

(1.72)

 

Во многих системах коэффициент затухания мал по сравнению с собственной частотой колебаний: <<₀. Тогда движение системы можно рассматривать как почти гармоническое колебание с частотой ₀ и с амплитудой, изменяющейся по закону (рис. 1.22)

Рис. 1.22. Свободные затухающие колебания

Коэффициент затухания  определяет скорость уменьшения амплитуды колебаний: он обратен по величине промежутку времени, за который амплитуда уменьшается в e раз.

Период затухающих колебаний равен:

(1.73)

Пусть первое наибольшее отклонение достигается в момент времени t=t*. Последующие наибольшие отклонения (A', A'', A''' и т.д. – см. рис. 1.20) образуют геометрическую прогрессию:

(1.74)

Отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, равно:

(1.75)

Это соотношение называется декрементом затухания. Логарифм этого отношения называется логарифмическим декрементом затухания:

(1.76)

Определим количество колебаний, которое совершит система за время =1/. За это время амплитуда уменьшается в е раз, а число колебаний равно:

(1.77)

Следовательно, логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в е раз.

Для характеристики колебательной системы часто употребляется величина, называемая добротностью:

(1.78)

которая пропорциональна числу колебаний N_е, совершаемых системой за то время , за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Например, для электромагнитного контура при <<₀ находим:

(1.79)

 

Мы видели, что полная энергия в колеблющейся системе пропорциональна квадрату амплитуды. При малом затухании (<<₀) имеем:

(1.80)

где E₀ – значение полной энергии колеблющейся системы в начальный момент времени. Можно определить убыль энергии за период Т:

(1.81)

Следовательно,

(1.82)

то есть при слабом затухании добротность, с точностью до множителя 1/(2), равна отношению полной энергии, запасенной в колебательной системе в данный момент времени, к убыли энергии за один период колебаний.

При увеличении затухания частота колебаний

стремится к нулю, а период колебаний растет. В предельном случае

период обращается в бесконечность, то есть движение перестает быть периодическим. Соответствующий математический анализ показывает, что при >₀ движение носит апериодический характер – выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний.

Экспериментальное изучение затухающих колебаний математического маятника показано на рис. 1.23.

Рис. 1.23. Экспериментальное изучение затухающих колебаний математического маятника

Исследование с помощью модели зависимости амплитуды затухающих колебаний от коэффициента затухания показано на рис. 1.24.

Рис. 1.24. Исследование зависимости амплитуды затухающих колебаний от коэффициента затухания системы