3.3. Соотношения неопределенностей

Само наличие у частицы волновых свойств накладывает определенные ограничения на возможность корпускулярного описания ее поведения. Для классической частицы всегда можно указать ее точное положение и импульс. Для квантового объекта имеем иную ситуацию.

Представим цуг волн пространственной протяженностью х  образ локализованного электрона, положение которого известно с точностью х. Длину волны де Бройля для электрона можно определить, подсчитав число N пространственных периодов на отрезке х: Какова точность определения ? Ясно, что для слегка отличающейся длины волны мы получим примерно то же самое значение N. Неопределенность  в длине волны ведет к неопределенности в числе узлов, причем измерению доступны лишь N>1. Так как то отсюда немедленно следует знаменитое соотношение неопределенностей В. Гейзенберга для координат-импульсов (1927 г.): Точности ради надо заметить, что, во-первых, величина р в данном случае означает проекцию импульса на ось х и, во-вторых, приведенное рассуждение имеет скорее качественный, нежели количественный характер, поскольку мы не дали строгой математической формулировки, что понимается под неопределенностью измерения. Обычно соотношение неопределенностей для координат-импульсов записывается в виде

(3.12)

Аналогичные соотношения справедливы для проекций радиуса-вектора и импульса частицы на две другие координатные оси:

Представим теперь, что мы стоим на месте и мимо проходит электронная волна. Наблюдая за ней в течение времени t, хотим найти ее частоту . Насчитав N=t  колебаний, определяем частоту с точностью откуда имеем или (с учетом соотношения Е=hv)

Аналогично неравенству (3.12) соотношение неопределенностей Гейзенберга для энергии системы чаще используется в виде

(3.13)

Поговорим о физическом смысле этих соотношений. В них проявляется «несовершенство» макроскопических приборов. Но приборы совсем не виноваты: ограничения носят принципиальный, а не технический характер. Сам микрообъект не может быть в таком состоянии, когда определенные значения одновременно имеют какая-то из его координат и проекция импульса на ту же ось.

Смысл второго соотношения: если микрообъект живет конечное время, то его энергия не имеет точного значения, она как бы размыта. Естественная ширина спектральных липни  прямое следствие формул Гейзенберга. На стационарной орбите электрон живет неограниченно долго и энергия Е определена точно. В этом  физический смысл понятия стационарного состояния. Если неопределенность в энергии электрона превышает величину расщепления между энергиями соседних состояний то нельзя точно сказать, на каком уровне находится электрон. Иными словами, на короткое время порядка электрон может перескочить с уровня 1 на уровень 2, не излучая фотона, и затем вернуться назад. Это  виртуальный процесс, который не наблюдается и, следовательно, не нарушает закона сохранения энергии.

Похожие соотношения существуют и для других пар так называемых сопряженных динамических переменных. Так, при вращении частицы вокруг некоторой оси по орбите радиусом R неопределенность ее угловой координаты  влечет за собой неопределенность ее положения на орбите х=R. Из соотношений (3.12) следует, что неопределенность импульса частицы удовлетворяет неравенству

Учитывая связь момента импульса электрона L с его импульсом L=Rp, получаем L=Rp, откуда следует еще одно соотношение неопределенностей

(3.14)

Некоторые следствия соотношений неопределенностей

Отсутствие траекторий частиц. Для нерелятивистской частицы p=mv и Для массивных объектов правая часть исчезающе мала, что позволяет одновременно измерить скорость и положение объекта (область справедливости классической механики). В атоме же Бора импульс электрона и неопределенность положения оказывается порядка радиуса орбиты. Невозможность состояния покоя в точке минимума потенциальной энергии.

Например, для осциллятора (тело на пружине) энергию Е можно записать в виде Основное состояние в классической механике: Поэтому величина неопределенностей р и х имеет порядок самих значений импульса и координат, откуда получаем Минимум энергии достигается в точке и равен Вообще говоря, такие оценки не могут претендовать на точный ответ, хотя в данном случае (как и для атома водорода) он действительно точен. Мы получили так называемые нулевые колебания: квантовый осциллятор, в отличие от классического, не может оставаться в покое  это противоречило бы соотношению неопределенностей Гейзенберга. Точные расчеты показывают, что формулу Планка для уровней энергии осциллятора надо было бы писать в виде где n=0, 1, 2, 3, ...  колебательное квантовое число.

При решении задач на применение соотношения неопределенностей следует иметь в виду, что в основном состоянии в классической физике электрон покоится в точке, соответствующей минимуму потенциальной энергии. Соотношения неопределенностей не позволяют ему это делать в квантовой теории, так что электрон должен иметь некоторый разброс импульсов. Поэтому неопределенность импульса (его отклонение от классического значения 0) и сам импульс по порядку величины совпадают Неопределенность координаты электрона, замкнутого в объеме V, равна по порядку величины линейному размеру этого объема Пример 1. Электрон с кинетической энергией К=15 эВ находится на металлической пылинке диаметром d=1 мкм. Оценим относительную неточность v, с которой может быть определена скорость электрона.

По условию и Энергия электрона много меньше его энергии покоя, так что можно применять нерелятивистские соотношения откуда Для относительной неопределенности скорости электрона получаем В этом выражении выделены безразмерные множители  отношение комптоновской длины волны электрона к диаметру пылинки и отношение энергии покоя электрона к его кинетической энергии. Подставляем численные значения: Пример 2. Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии =10^8 с. При переходе в основное состояние излучается фотон с длиной волны =0.5 мкм (зеленый цвет). Определим энергию кванта, ширину и относительную ширину спектральной линии.

Энергия кванта равна Неопределенность в энергии определяется по соотношению откуда Тогда