3.4. О границах применимости квантовой механики

Собственно, мы еще с квантовой механикой даже не познакомились, но лишь подошли к ее порогу. Тем не менее, уже сейчас можно дать оценку области, в которой заведомо не будут справедливы выводимые нами соотношения. Если подходить к микромиру со стороны области применимости классической физики, то никаких проблем не возникает. В самом деле, квантовые соотношения вовсе не отменяют классических законов, но уточняют их. В макромире, характеризуемом большими значениями энергий и моментов количества движения, квантовая дискретность просто незаметна, так что к макрообъектам можно, вообще говоря, применять и квантовые, и классические законы. Разница между получаемыми с их помощью количественными результатами будет ничтожно мала, но классические законы проще. В этом смысле мы говорим об области, где справедливы законы классической физики.

Иное дело, когда мы станем продвигаться вглубь микромира. Принципиально ясно, что где-то могут отказать и законы квантовой механики, и ученым придется придумывать какую-то новую теорию. В этом курсе мы будем заниматься нерелятивистской квантовой механикой, изучающей микрообъекты, движущиеся со скоростями, гораздо меньшими скорости света с. Мы встретимся и с релятивистскими объектами (фотонами и др.), но будем оговаривать такие случаи особо.

Определим теперь область справедливости нерелятивистской квантовой механики. Представим себе микрочастицу с массой т. Квантовая неопределенность Е ее энергии должна быть много меньше энергии покоя тс² (в противном случае квантовые эффекты с необходимостью будут релятивистскими, что потребует обобщения теории). Из соотношения неопределенностей (3.13) и условия применимости нерелятивистских уравнений Е<<тс² следует ограничение на интервалы времени: Характерное время является, таким образом, водоразделом между релятивистской и нерелятивистской квантовыми теориями. За это время частица может пройти расстояние не больше Величина l_C  характерное расстояние, на котором проходит граница между нерелятивистской и релятивистской теориями. Для электрона оно равно l_C=3.86·10^13 м, а для протона  l_C=2.1·10^16 м. Соответствующие промежутки времени равны tc=1.3·10^21 с для электрона и tc=7·10^25 с для протона.

На рис. 3.6 по оси х в логарифмическом масштабе отложены расстояния, а по оси у  скорости.

Рис. 3.6. Диаграмма расстояние — скорость для наглядной иллюстрации областей применимости физических теорий: классической механики, специальной теории относительности (СТО), квантовой механики (КМ), общей теории относительности (ОТО) и квантовой теории поля (КТП). Точка показывает электрон в атоме — в сфере действия квантовой механики

Отмечены области применимости основных физических теорий (ОТО  общая теория относительности, СТО  специальная теория относительности, КМ  квантовая механика, КТП  квантовая теория поля, она же  релятивистская квантовая теория, она же  теория элементарных частиц). Границы между различными теориями размыты, так как они не отрицают друг друга, но развивают и дополняют. Так, КТП, занимающаяся свойствами элементарных частиц, родилась при соединении КМ и СТО, а ОТО (она же теория гравитации)  при распространении СТО и классической механики на область больших расстояний. Правая граница области КМ не означает, что квантовую механику нельзя применять там, где мы привыкли пользоваться классической. Просто это делать нецелесообразно. Обратим внимание, что рисунок ограничен с обеих сторон. Большой взрыв, в котором родилась наша Вселенная, произошел 15  20 млрд. лет тому назад. За это время свет преодолел путь порядка 10²⁶ м, что и определяет максимальные возможные расстояния в этом мире. На расстояниях порядка 10^35 м необходимо учитывать силы гравитации, квантовая теория которых пока не создана. Только очень смелые теоретики решаются серьезно обсуждать, что происходит на столь малых расстояниях. Поэтому данная область на рисунке не показана.

Подведем итоги этой главы. Мы пришли к противоречивой картине микромира. В атоме Бора использовались законы движения по классической траектории, которые в результате оказались несправедливыми. Расчет радиуса орбиты и импульса электрона противоречит волновым идеям де Бройля, из которых мы и выводили эти характеристики. Наконец, совершенно непонятно, что же колеблется в пространстве при движении электрона?