4.3. Операторы, симметрия и законы сохранения

Итак, состояние электрона описывается в квантовой механике волновой функцией (t, r). Но куда подевались координаты, импульс и прочие величины, известные из классической теории? От классических представлений придется отказаться. Взамен у нас появились так называемые операторы, то есть некие операции, совершаемые над (t, r). Из уравнения Шредингера видно, что оно воспроизводит связь

полной энергии Е с кинетической К и потенциальной U, но классические величины заменены на операторы, действующие на волновую функцию . Будем обозначать оператор тем же символом, что и классическую величину, снабжая его для отличия «шляпкой». Тогда уравнение Шредингера (4.12) можно записать в операторной форме, в которой отчетливо видна его связь с энергетическими соотношениями классической физики:

где введены операторы

(4.13)

Здесь

оператор градиента, квадрат которого дает оператор Лапласа . Оператор координаты сводится к простому умножению  на вектор r; то же справедливо для любой функции r (в частности, для потенциальной энергии).

Мы пришли к правилам квантования, то есть к способу перехода от известной классической величины к соответствующей ей квантовой.

Правило 1

Классическим динамическим переменным (r, р) в квантовой механике соответствуют операторы  умножение на вектор r, и  дифференцирование по координатам.

При этом энергии частицы в потенциальном поле соответствует оператор полной энергии

(4.14)

В этих обозначениях уравнение Шредингера (4.12) имеет вид

(4.15)

Опepaтop полной энергии называется гамильтонианом (аналог функции Гамильтона в теоретической механике).

Напомним, что в классической механике законы сохранения связаны с симметрией системы: энергия  с трансляцией (сдвигом) времени импульс  с трансляцией пространства момент импульса  с поворотами в пространстве (трансляцией углов) Трансляцию какой-то обобщенной координаты q производит оператор дифференцирования по этой координате. Например, для бесконечно малой трансляции имеем по определению производной Поэтому не случайно в квантовой механике полной энергии соответствует операция взятия производной по времени а импульсу  градиент. Аналогично оператор проекции момента импульса на какую-то ось z пропорционален оператору дифференцирования по углу поворота вокруг этой оси:

(4.16)

4.4. Стационарное уравнение Шредингера

В теории операторов важную роль играют так называемые собственные состояния операторов. Это такие состояния, которые при действии данного оператора меняются тривиальным образом: умножаются на некоторое число. Это число называется собственным значением оператора, соответствующим данному собственному состоянию. Чтобы найти собственные состояния и собственные значения какого-то оператора, надо решить уравнение где индекс п отличает одно решение от другого. Набор величин А_п, то есть набор собственных значений оператора, определяет его свойства.

Рассмотрим в качестве примера операцию поворота вокруг некоторой оси z. Роль состояний играют здесь обычные радиусы-векторы. Очевидно, что при повороте все векторы меняются, кроме параллельных оси. Это и есть собственные векторы оператора поворота вокруг оси z, причем соответствующее собственное значение равно единице. Аналогичны выводы для поворота вокруг осей х и у. Произвольный поворот можно получить комбинацией этих трех поворотов. Соответственно, любой радиус-вектор можно представить как линейную комбинацию трех собственных векторов i, j, k. Ситуация с другими операторами по сути ничем не отличается от описанной: зная набор собственных состояний _n(t, r), любое другое состояние (t, r) можно получить с помощью линейной комбинации, то есть с помощью принципа суперпозиции:

(4.17)

Связь математики с физикой реализуется в следующем правиле.

Правило 2

Измерение некой физической величины А всегда дает лишь одно из собственных значений Ап соответствующего ей оператора Вероятность получить при измерении именно значение Ап определяется состоянием системы (а именно, квадратом модуля соответствующего коэффициента в разложении (4.17)).

Следствие: в собственном состоянии _m(t, r) измерение А с вероятностью 100% даст значение А_т (так как в разложении (4.17) отличен от нуля лишь коэффициент С_т=1).

Поскольку среди всех физических величин особую роль играет энергия, найдем уравнение для собственных состояний _E оператора полной энергии. Уравнение, согласно сказанному, имеет вид откуда следует решение

(4.18)

Мы получили общий вид состояния, в котором энергия имеет определенное значение. Такие состояния называются стационарными. Естественно, пока невозможно сказать, чему равна энергия стационарного состояния, поскольку мы еще не указали рассматриваемую физическую систему. В уравнении (4.18) стоит некая функция (r), не зависящая уже от времени. Она называется волновой функцией стационарного состояния. Зависимость стационарных состоянии от времени особенно проста  такая же как для свободной частицы. Отсюда следует, что в стационарном состоянии плотность вероятности не зависит от времени. В этом смысле и следует понимать название «стационарное». Подставляя решение (4.18) в общее уравнение Шредингера (4.12), получим стационарное уравнение Шредингера, то есть уравнение для (r):

(4.19)

Подчеркнем: это  уравнение для состояний с определенной энергией Е. В операторных обозначениях оно имеет вид то есть представляет собой уравнение для собственных состояний гамильтониана. Задавая тот или иной вид потенциальной энергии, мы конкретизируем систему и получаем стационарное уравнение Шредингера, решения которого и описывают квантовые свойства системы.

Не следует думать, что система может быть только в стационарном состоянии. Возьмем характерный пример: пусть и  два неких стационарных состояния какой-то системы с разными энергиями Е₁ и Е₂. Предположим, что в начальный момент времени волновая функция системы является симметричной суперпозицией этих состояний: Вопрос: что будет с системой в произвольный момент t.

Зная, что справедлив принцип суперпозиции и что зависимость собственных состояний от времени определяются соотношениями типа (4.18), можно сразу же написать волновую функцию:

(4.20)

Плотность вероятности такого состояния зависит от времени! Введем обозначения для средней энергии и частоты перехода Тогда и легко получаем вместо (4.20)

(4.21)

Видно, что в момент t=0 система находится в симметричном состоянии, к моменту времени t=/ она перейдет в антисимметричное состояние, а в момент t=2/  снова вернется в симметричное состояние. Следовательно, система осциллирует между симметричным и антисимметричным состояниями с круговой частотой . Здесь усматривается аналогия с классической физикой: в рассмотренной ранее системе связанных осцилляторов возникают похожие собственные колебания (нормальные моды) и биения.