3. Волновые свойства микрочастиц

Идеи квантовой физики всякий раз радикально ломали устоявшиеся представления об устройстве мира. Мы уже видели, как на новом уровне в волновую теорию проникли казалось давно отброшенные наукой корпускулы  фотоны, кванты света. В этой главе мы познакомимся с тем, как волны вторглись и заняли почетнейшее место в той области физики, которая давным-давно была хорошо обжита частицами. В определенном смысле квантовая физика совершила даже более революционный переворот в наших знаниях, чем теория относительности.

3.1. Атом Бора

Вернемся в 1911 год. К этому времени дискретность микромира проявилась наиболее ярко в атомных спектрах. Оказалось, что атомы поглощают и испускают свет только определенной длины волны, причем спектральные линии группируются в так называемые серии (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Длины волн, излучаемые атомом водорода: спектр состоит из серий (показаны три первые)  последовательностей линий, сгущающихся к некоторому (своему для каждой серии) предельному минимальному значению _n,MIN; серия Бальмера лежит в видимом диапазоне света

Для спектра водорода, простейшего из атомов, была установлена (не выведена, а угадана!) несложная формула

(3.1)

Здесь   длина волны излучения атома водорода, п и k>п  целые числа, a Rу  так называемая постоянная Ридберга. Оказалось, что серия Лаймана описывается при значениях п=1, k>2, серия Бальмера  при п=2, k>3, серия Пашена  при п=3, k>4 и т. д. Предельные (минимальные) значения для длин волн получаются из (3.1): Кроме того, в результате изучения свойств газов к тому времени было известно, что размеры атомов приблизительно равны 10^-10 м. Поэтому теория, объясняющая спектр и размеры атомов, должна была включать в себя какой-то параметр, позволяющий построить величину размерности длины (постоянных е и т  заряда и массы электрона  для этого недостаточно). Такого параметра в классической теории не было. Им могла бы стать постоянная Ридберга, но ее происхождение было темно и загадочно.

Опыты Э. Резерфорда 1911 г. по отклонению -частиц при падении их на металлическую фольгу показали наличие внутри атома положительного заряда, сконцентрированного в области диаметром не более 10^-14 м.

Схема опытов Резерфорда представлена на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Схема опыта Резерфорда по рассеянию -частиц

От радиоактивного источника К, заключенного в свинцовый контейнер, -частицы направлялись на тонкую фольгу Ф из исследуемого металла. Рассеянные частицы попадали на экран Э, покрытый слоем кристаллов сульфида цинка, способных светиться под ударами быстрых заряженных частиц. Сцинтилляции (вспышки) на экране наблюдались глазом с помощью микроскопа М. Наблюдения рассеянных -частиц в опыте Резерфорда можно было проводить под различными углами  к первоначальному направлению пучка. Было обнаружено, что большинство -частиц проходит через тонкий слой металла, практически не испытывая отклонения. Однако небольшая часть частиц отклоняется на значительные углы, превышающие 30°. Очень редкие -частицы (приблизительно одна на десять тысяч) испытывали отклонение на углы, близкие к 180°. Очевидно, что -частица может быть отброшена назад, если положительный заряд атома и его масса сосредоточены в очень малом объеме внутри атома. Таким образом, было открыто атомное ядро  тело малых по сравнению атомом размеров, в котором сосредоточен весь положительный заряд и практически вся его масса.

Возникла планетарная модель атома водорода: протон с электроном на орбите. Физики любят единые модели, а здесь так красиво в малом повторялось большое, в атоме  Солнечная система.

Проблема состояла в том, что электрон должен упасть на ядро. Почему планеты не падают на Солнце? Важны начальные условия (положение и скорость), а дальше происходит вращение по стационарной орбите. Но электрон заряжен и при ускорении должен испускать электромагнитное излучение, то есть стационарное вращение невозможно. Классическая электродинамика предсказывает, что, быстро потеряв свою энергию, электрон должен упасть на ядро примерно за 5 10^-11 с. Свет за это время проходит около 1.5 см (получается, что мы видим лишь «мертвые» атомы, но это не так!). Резерфорд понимал проблему, но сознательно концентрировался на изучении ядра, полагая, что вопрос об устойчивости атома будет решен при исследовании поведения атомных электронов. Это суждено было сделать в 1913 г. Н. Бору, предложившему новую теорию атома.

Постулаты Бора

Первый постулат Бора

В атоме существуют стационарные орбиты, находясь на которых электрон не излучает.

Здесь прослеживается «насильственное» введение дискретности (разрешены не все орбиты), а также типичное для физики «заметание проблемы под ковер»: если чему-то не находится объяснений, принимают это как данность и изучают следствия в надежде, что когда-нибудь поймут и причину.

Второй постулат Бора

При переходе с одной стационарной орбиты на другую электрон излучает (поглощает) квант света с частотой (Е  разность энергий электрона на орбитах).

Этот постулат отражает сохранение энергии и соотношение ПланкаЭйнштейна.

Третий постулат Бора

Динамика электрона на стационарной орбите определяется уравнениями классической теории.

Неизбежное следствие: так как остальные орбиты для электрона запрещены, переход осуществляется скачком; о пути и энергии электрона между орбитами говорить не имеет смысла: законы механики там не применимы.

Четвертый постулат Бора

Круговые стационарные орбиты определяются условием квантования момента импульса (n  целое число):

Постоянная Планка h имеет размерность момента количества движения и вместе с зарядом электрона е и его массой т позволяет образовать параметр размерности длины. Это приводит к возможности вычислить размеры атома.

Применение постулатов Бора

Классическая механика для электрона, вращающегося по круговой орбите радиусом R со скоростью v вокруг ядра с зарядом Ze, дает уравнение движения откуда Поэтому энергия Е и момент импульса L электрона выражаются через радиус орбиты R: Если к последнему выражению применение условие квантования Бора L=nh (n=1, 2, 3, …), то получатся следующие результаты.

Характеристики водородоподобного атома

Радиусы разрешенных орбит

(3.2)

Энергия электрона на стационарной орбите

(3.3)

Константа а_В, имеющая размерность длины, называется радиусом Бора (а_В=5.29·10^-11 м). Смысл числа п  номер разрешенной орбиты. Радиус Бора  радиус низшей орбиты (п=1) в атоме водорода (Z=1). Если устремить к нулю значение постоянной Планка, то получаем, что радиус Бора стремится к нулю: падение электрона на ядро  как в классической физике.

Формула (3.3) определяет дискретные значения энергии, которые может иметь электрон в атоме водорода, или, как говорят, энергетические уровни. Отрицательные значения Е_п соответствуют связанным состояниям электрона в атоме, то есть движениям в ограниченной области пространства (аналог в классической физике  движение планет по эллипсам в отличие от гиперболических траекторий, уходящих на бесконечность).

При решении задач о поведении электрона в атоме обычно возникают выражения, включающие квадрат электрического заряда электрона е² в комбинации с электрической постоянной ₀. Для выполнения численных расчетов удобно ввести так называемую постоянную тонкой структуры:

(3.4)

Приведем для справки формулу для энергии (3.3), выраженной через постоянную тонкой структуры: Из-за множителя ² характерные для атома энергии оказываются на четыре порядка меньше энергии покоя электрона. Это проявление нерелятивизма атомных систем.

Пример 1. Определим скорость электрона на n-й орбите атома Бора. Радиус п-й орбиты определяется формулой где а_В  радиус Бора. Скорость электрона v можно выразить через момент импульса L=nh: Выражение для радиуса Бора упростим, используя введенную постоянную тонкой структуры:

(3.5)

Подставляя это выражение в полученную выше формулу для скорости электрона, получаем для n-й орбиты Отсюда вытекает, что на низшей орбите скорость электрона приблизительно в 137 раз меньше скорости света, то есть атом  действительно нерелятивистская система. На n-й орбите скорости электрона в п раз меньше, чем на первой. Численный пример: на второй орбите скорость электрона равна При переходе с уровня k на уровень п (k>п) излишек энергии Е_k-Е_п перейдет в энергию фотона hv_nk. Поэтому для спектра излучаемых частот получаем соотношение (ср. (3.1))

(3.6)

Таким образом, теория Бора позволила также вычислить постоянную Ридберга. Стало понятно и существование спектральных серий, и предельных значений _п,MIN (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Схема энергетических уровней в атоме Бора: переходы электрона с высшего на низший уровень для каждой серии линий соответствуют длинам волн _1,MIN, _2,MIN, _3,MIN и т.д.

Экспериментальное подтверждение гипотеза Бора нашла в опытах ФранкаГерца, которые заключались в бомбардировке паров ртути электронами в вакуумной трубке и измерении зависимости анодного тока от ускоряющей разности потенциалов. Схема опыта приведена на рис. 3.4.

ис. 3.4. Схема опыта ФранкаГерца

В трубке, заполненной парами ртути под небольшим давлением (около 1 мм. рт. ст.), имеются три электрода: анод А, катод К и сетка С. Электроны, вылетающие с поверхности подогретого катода вследствие термоэлектронной эмиссии, ускоряются напряжением U, приложенным между катодом и сеткой. Это напряжение можно менять с помощью потенциометра П. Между анодом и сеткой приложено слабое обратное поле с разностью потенциалов порядка 0.5 В, тормозящее движение электронов к аноду. Определялась зависимость тока I в цепи анода от приложенного напряжения U. Полученные результаты приведены на рис. 3.5.

Рис. 3.5. Зависимость тока I в цепи анода от приложенного напряжения U в опыте ФранкаГерца

Сила тока сначала монотонно возрастает, достигает максимума при напряжении 4.9 В, после чего с ростом U резко падает, достигает минимума и снова начинает расти. Максимумы силы тока повторяются при напряжениях 9.8 В, 14.7 В и т.д. Чередование максимумов на равном расстоянии друг от друга доказало дискретность изменения энергии атома.

Пример 2. При переходе с третьего уровня на второй (головная линия серии Бальмера) водородоподобный ион атома некоторого элемента испускает фотон с энергией 7.5 эВ. Определим, какой это элемент.

Энергия электрона, находящегося на п-й орбите около ядра с зарядом Ze, равна При переходе с уровня п=3 на уровень п=2 выделяется энергия откуда Атомный номер элемента  целое число, так что после округления получаем Z=2, что соответствует гелию.

Как отмечалось выше, еще до появления теории Бора был изучен спектр водородного атома и эмпирически установлена формула (3.1). Но при наблюдении спектра Солнца были замечены линии, казалось бы, нарушающие эту формулу, так как они соответствовали полуцелым значениям n и k. После появления теории Бора стало ясно, что квантовые числа п и k все-таки должны быть целыми, а кажущиеся полуцелые значения можно объяснить по-другому. Действительно, из формулы (3.6) для частот, испускаемых водородоподобным атомом, следует, что

то есть наблюдавшиеся линии принадлежат иону элемента с Z=2. Как известно, этот элемент носит «солнечное» имя  гелий.