Тема 3. Вычисление арифметического среднего, основного (квадратического) отклонения, коэффициента вариации.

Одна из основных задач статистической обработки мате­риала - найти показатели, характеризующие особенности эмпирических совокупностей, дающие возможность сравни­вать их друг с другом.

Статистические совокупности с достаточной полнотой характеризуют два показателя:

1. Средняя величина признака;

2. Степень варьирования или рассеяния. Рассмотрим понятие «средняя величина признака». В статистике используются средняя арифметическая, средняя взвешенная, средняя гармоническая, средняя геометриче­ская. Наибольшее значение в биологических и сельскохозяй­ственных исследованиях имеет средняя арифметическая.

Средней арифметической называется такая величина, сумма отрицательных и положительных отклонений от кото­рой равна нулю. Например, количество плодов на растениях составляет 4; 5; 9. Среднее количество плодов - 6; 4 откло­няется от 6 на минус 2; 5 - на минус 1; 9 - на плюс 3:

Чтобы найти арифметическое среднее, надо сложить все варианты и разделить их на число наблюдений.

Средняя арифметическая в вариационной статистике обозначается как М или х (читается как икс покрытое). Фор­мула определения среднего арифметического:

При небольшом количестве наблюдений или при исполь­зовании электронных счетных машин вычисление среднего арифметического производится таким образом.

При обработке сложных вариационных рядов при боль­шом количестве вариант такой способ вычисления слишком трудоемок. Применяется способ вычисления среднего «по способу моментов», или «от произвольного начала». Рас­смотрим этот способ вычисления на примере простого вариа­ционного ряда (табл. 6). (Вариационный ряд, в котором каж­дая варианта встречается один раз называется простым, несколько раз - сложным).

Отклонения от произвольно взятого среднего обозна­чаются а или х-х. В качестве произвольно и взятого среднего (или условного среднего) берем любую варианту, лежащую в средине или близко к средине вариационного ряда. Отгра­ничиваем ее прямыми линиями. Мы взяли в нашем примере в качестве произвольного среднего варианту 13.

Таблица 6 Таблица 7

Вычислим отклонения от произвольной средней каждой варианты. По­скольку наш ряд построен в восходящем порядке, варианты, лежащие выше произвольного среднего, имеют знак -, ни­же его +

Найдем алгебраическую сумму отклонений:

Мы знаем, что сумма отрицательных и положительных отклонений от среднего равна 0. Разделив полученную нами сумму отклонений на число наблюдений (8), получаем поправку.

I

Формула поправки , а истинное среднее равно произвольно взятому среднему Мо + поправка.

Нельзя забывать, что речь идет об алгебраической сум­ме: если мы получили поправку с отрицательным знаком, то

В нашем примере М или Проверим наше вычисление:

Мы получили одинаковые результаты, что и при вычисле­нии с помощью произвольно взятой средней.

Если в качестве произвольного среднего мы возьмем варианту 14, то сумма отрицательных отклонений будет равна - 10; сумма положительных +6, поправка

b = -10+6/8= - 0,5. Среднее = 14+(-0,5) = 13,5.

Для проверки правильности вычисления среднего реко­мендуется повторить вычисление, взяв за произвольное сред­нее другую варианту.

В сложных вариационных рядах, где варианты встре­чаются по нескольку раз, также берут одну из вариант, лежащих в средине ряда, за произвольную среднюю, вычис­ляют отклонение от среднего (х—х или а), умножают откло­нения на соответствующие частоты, находят суммы положи­тельных и отрицательных отклонений (а х f), делят на количество наблюдений и найденную таким образом поправку добавляют или вычитают произвольно взятого среднего (в зависимости от знака). Рассмотрим пример (табл. 7).

Поправка b= -19+31/34=0,35, п=34. Вычисления производятся с точностью до 0,01. Средняя равна 13+0,35 = 13,35.

При вычислении среднего в рядах, разбитых на классы, во избежание получения слишком больших чисел при рас­четах, отклонения от произвольно взятого среднего каждого класса принимают за единицу, а затем полученную поправ­ку умножают на размер классового промежутка, обозначае­мого К или l, и добавляют или вычитают (в зависимости от знака) к центральному значению класса, взятого в качестве произвольного среднего. Центральное значение класса обоз­начается W, X или х. В качестве примера вычислим среднее по данным таблицы 8.

Сумма произведений частот на отклонение с отрицатель­ным знаком равна - 20, с положительным знаком 34. Алге­браическая сумма составляет 14. Найдем b, для этого 14 разделим на получим 0,34. W — центральное значение класса, принятого за среднее, равно 37. Отсюда М= 37 +0,34 х5= 38,70.

Таблица 8

Формула вычислении среднего вариационного ряда, раз­битого на классы:

M=W+bl

При исчислении следует следить за правильностью зна­ков gлюс или минус у b.

Основная литература: [1-7]

Дополнительная литература: [8-14; 15-17]

Тема 4. В каждой частной совокупности, взятой для исследования, отдельные экземпляры в различной степени отклоняются от средней величины, поэтому для характеристики изучаемой выборки одного среднего недостаточно; необходимо привести показатели, характеризующие степень этого разнообразия.

Показателями разнообразия признаков служат лимиты, амплитуды изменчивости, среднее квадратическое отклонение (сигма), варианса и коэффициент вариации. Общим свойством показателей разнообразия является их способность отмечать различные степени и особенности разнообразия.

Основная литература: [1-7]

Дополнительная литература: [8-14; 15-17]