Тема 5. Среднее квадратическое отклонение (сигма). Ошибка среднего арифметического.

Квадратическое (основное) отклонение (сигма) используется для вычисления очень важного статистического показателя — ошибки среднего арифметического. Точное сред­нее арифметическое может быть определено, если мы иссле­дуем всю генеральную совокупность. Практически же мы имеем дело с более или менее большими по объему выборка­ми. В таких случаях среднее всегда бывает не вполне точ­ным.

Возьмем 100 растений, измерим их высоту, вычислим среднюю арифметическую. Допустим, что средний рост рас­тений данной выборки 50,5 см. Разобьем эти растения на группы по 20 экз. в каждой. Вновь проведем измерения и вычислим средние. Эти новые средние точно не совпадут с уже установленным средним 50,5, а будут в каждом отдель­ном случае отклоняться от него в ту или другую сторону: 49,8; 50,9; 50,1; 51,3; 50,4 в зависимости от того, попадут ли во взятую для измерения группу более высокие или более низкие растения. Поэтому, называя среднее арифметичес­кое, необходимо указать и возможные колебания этой сред­ней величины. Это достигается путем вычисления ошибки среднего арифметического, которая обозначается m или Sx и определяется по формуле

Приводя среднее арифметическое, указывают и его ошибку:

Это показывает, что среднее в исследованной выборке колеблется от 140 до 150.

Ошибка средней арифметической зависит от двух вели­чин: от степени разнообразия признака в генеральной сово­купности и от размера выборки: чем больше выборка, тем меньше ошибка. Поэтому при вычислении ошибки квадратическое отклонение делится на корень квадратный из числа наблюдений.

Часть никогда не может полностью характеризовать це­лое, поэтому характеристика генеральной совокупности на основе выборочных данных всегда будет иметь некоторую большую или меньшую ошибку. Такие ошибки являются ошибками обобщения, связанными с перенесением результатов, полученных при изучении выборки, на всю генераль­ную совокупность, и называются ошибками репрезентатив­ности. (Репрезентативность происходит от французского сло­ва representative - представительный).

Помимо ошибок репрезентативности при исследовании могут встретиться ошибки самого разнообразного характера. К ним относятся:

1. Методические ошибки (нарушение правильной мето­дики проведения фиксации материала для цитологических и биохимических исследований, невыравненность условий в опытных вариантах и контроле).

2. Ошибки точности (использование непроверенных изме­рительных приборов, расчеты с недостаточной точностью и т. д.).

3. Случайные ошибки (ошибки, просчеты, путаница в материале и т. д.).

4. Ошибки, связанные с неправильным отбором проб для изучения.

Все эти причины повлекут за собой очень сильное увели­чение ошибки среднего. (Иногда у начинающих работников ошибка бывает почти равна среднему. Ясно, что такие дан­ные должны выбраковываться).

Упрощенное вычисление ошибки среднего арифметического

При обработке данных по многочисленным вариантам опыта и небольшом количестве повторностей можно приме­нить упрощенный способ вычисления ошибки среднего ариф­метического по Петерсу с использованием фактора Молденгауэра (константы К) по формуле

где — сумма отклонений независимо от знака, а К - константа, изменяющаяся в зависимости от количества повторностей, вычисленная по формуле:

В книге П.Н Константинова «Методика полевых опытов (с элементами теории ошибок)», 1939, дана таблица констант К для ошибок среднего.

(При большем количестве повторностей использование упрощенного способа вычисления ошибки экономит немного времени). Допустим, мы изучали действие различных микро­элементов в разных дозах на урожайность пшеницы. У нас было 40 вариантов опытов. Каждый вариант испытывался в четырех повторностях.

В первом варианте (контроль) был получен следующий урожай (табл. 16).

Для проверки правильности вычисления среднего и отклонений мы сначала суммируем положительные и отрицательные отклонения:

Эти вычисления нужны только для проверки и в даль­нейших расчетах не участвуют.

Суммы положительных и отрицательных отклонений равны, значит, вычисления сделаны правильно. (В случае, когда среднее и отклонение вычисляются с округлением, между суммой положительных и отрицательных отклоне­ний может быть небольшая разница, выражающаяся в деся­тых долях. Этой разнипой можно пренебречь).

Находим сумму отклонений независимо от знака (в нашем примере она равна <3,0) и умножаем ее на константу К для четырех повторностей, равную 0,1809.

3,0х0,1809 = 0.5427

Точность опыта имеет большое значение, так как она определяет степень надежности полученных данных. Точность опыта обозначается Р или m % и вычисляется по формуле

т.е. путем вычисления про­центного отношения ошиб­ки к средней величине.

Опыт считают достаточно точным, если Р меньше 3 %, и удовлетворительным при Р, равной 5%. При Р, равной 6-7% и более, к полученным выводам следует отнестись очень осторожно. Опыт следует повторить с соблюдением всех требований методики.

Основная литература: [1-7]

Дополнительная литература: [8-14; 15-17]