Сложение вещественных чисел

Порядок действий при сложении вещественных чисел гораздо сложнее, нежели для целых чисел. Он приводится ниже:

1. слагаемые размещаются в разрядных сетках в прямых кодах;

1. определяется, порядок какого слагаемого меньше и насколько меньше. Для этого из любого из двух порядков вычитается оставшийся порядок и анализируется результат: если результат положителен, то большим порядком является уменьшаемое, если отрицателен, – то вычитаемое. Значение результата используется в следующих двух шагах. При вычитании, очевидно, выполняется сложение в обратном или дополнительном коде, причем в случае работы с порядками, которые являются целыми числами, эта операция идентична рассмотренной ранее;

1. порядок слагаемого, имеющий меньшее значение, увеличивается, становясь равным большему слагаемому. Если порядок отрицателен, он увеличивается, будучи преобразован в обратный или дополнительный код, по правилам, рассмотренным ранее;

1. числовые разряды мантиссы слагаемого с меньшим порядком сдвигаются вправо на столько разрядов, на сколько был увеличен меньший порядок. Часть разрядов при этом теряется, а оставшиеся свободными разряды заполняются нулями;

1. мантиссы складываются. При этом отрицательные мантиссы переводятся в обратный или дополнительный код и складываются по правилам, рассмотренным ранее. Результату приписывается общий (выровненный в предыдущих шагах) порядок;

1. в случае необходимости мантисса результата нормализуется. Необходимость нормализации определяется старшим числовым разрядом мантиссы: если он равен 0, нормализация нужна. Для этого мантисса сдвигается влево на нужное количество разрядов, а порядок уменьшается на соответствующее число. При этом, очевидно, уменьшение порядка выполняется как сложение с константой в обратном или дополнительном коде. Оставшиеся незаполненными младшие разряды мантиссы заполняются нулями.

Пример 1. Сложить в дополнительном коде числа 0,1011₂Е-2 и –0,1001₂Е-3. Разрядная сетка из девяти разрядов, из них четыре разряда – под порядок, пять разрядов – под мантиссу.

Решение показано ниже:

1. разместим слагаемые в разрядных сетках:

0,1011₂Е-2

1

0

1

0

0

1

0

1

1

-0,1001₂Е-3

1

0

1

1

1

1

0

0

1

1. вычитаем из порядка –2 порядок –3. Имеем: -2 – (-3) = -2 + 3. Таким образом, надо сложить числа –2 и +3 в дополнительном коде, располагая разрядной сеткой в 4 разряда (мы на время «забудем» о мантиссе).  При выполнении сложения используются правила сложения в дополнительном коде для целых чисел:

Прямые коды				⇒	Обратные коды				⇒	Дополнительные коды
1	0	1	0		1	1	0	1		1	1	1	0
0	0	1	1		0	0	1	1		0	0	1	1
					Результат сложения:					0	0	0	1

Поскольку результат положителен, он представлен в прямом коде.

Таким образом, большим порядком обладает первое слагаемое (действительно, -2 > -3). Порядок больше на 1.

1. меньший порядок, принадлежащий числу –0,1001₂Е-3, увеличивается на 1, что следует из предыдущего шага, т.е. выполняется действие: -3 + 1. Это действие заменяется сложением в дополнительном коде (разрядная сетка соответствует порядку):

Прямые коды				⇒	Обратные коды				⇒	Дополнительные коды
1	0	1	1		1	1	0	0		1	1	0	1
0	0	0	1		0	0	0	1		0	0	0	1
					Результат сложения:					1	1	1	0

Поскольку результат отрицателен, он представлен в дополнительном коде. Выполним преобразование сначала в обратный код, затем в прямой код:

1

1

0

1

⇒

1

0

1

0

Таким образом, результат увеличения меньшего порядка равен –10₂ = -2.

1. сдвиг числовых разрядов мантиссы на один разряд вправо (на время «забываем» о порядке):

1

1

0

0

1

⇒

1

0

1

0

0

1. сложение мантисс. Поскольку второе слагаемое имеет отрицательный знак, сложение выполняется в дополнительном коде:

Прямые коды					⇒	Обратные коды					⇒	Дополнительные коды
0	1	0	1	1		0	1	0	1	1		0	1	0	1	1
1	0	1	0	0		1	1	0	1	1		1	1	1	0	0
						Результат сложения:						0	0	1	1	1

Поскольку результат положителен, он представлен в прямом коде. После приписывания результату общего, выровненного порядка имеем:

1

0

1

0

0

0

1

1

1