Типи структурованості проблем, що вирішуються сппр
1 Структуровані та кількісно сформульовані – це проблеми, в яких існуючі залежності виражено у числах або символах та мають числові оцінки.
Слабоструктуровані проблеми – це ті, що містять як якісні, так і кількісні елементи, при цьому якісні та невизначені елементи мають тенденцію домінувати (наприклад, планування порожніх вагонів під навантаження).
3 Неструктуровані проблеми містять лише опис ознак і характеристик, кількісні залежності між якими невідомі.
Для вирішення структурованих задач доцільно використовувати методи дослідження операцій. Для вирішення слабоструктурованих задач використовується апарат нечітких множин та нечіткої логіки, що запропонував Лотфі Заде.
5 Прийняття рішень в умовах невизначеності
При розробленні СППР доводиться мати справу з неповною або неточною інформацією, що взагалі характерно для експертної інформації. Як правило, джерелом невизначеності є недостатньо повні знання або недостатня інформація щодо конкретної ситуації. Традиційно для вирішення задач в умовах невизначеності використовувались імовірнісно-статистичні методи. Однак використання їх обмежуються такими обставинами: деякі фактори невизначеності мають нестатистичну природу (суб’єктивні оцінки, лінгвістичні невизначеності тощо); неможливість отримання імовірнісно-статистичних даних. Неврахування цих обмежень призводить до неадекватних рішень. Сучасним математичним апаратом, що враховує невизначеність експертної інформації, є теорія нечітких множин. Крім Лотфі Заде, значний внесок у розвиток цієї теорії зробили такі вчені, як Тагакі, Сугено, Мамдані.
5.1 Основні поняття теорії нечітких множин
Визначення
нечітких множин. Нехай X=
– універсальна множина, тобто множина,
що охоплює усю проблемну область. Нечітка
множина A
X
являє собою набір пар
,
де
X та
:
– функція приналежності, яка являє
собою деяку суб’єктивну міру відповідності
елемента
нечіткій множині
(
)
та може приймати значення від нуля,
вказує на абсолютну неприналежність,
до одиниці, що, навпаки, вказує на
абсолютну приналежність елемента
нечіткій множині A. Нечітку множину
позначають таким чином:
A=
, (5.1)
де – пара функція приналежності/елемент, що називаються синглотоном; «+» сукупність пар.
Приклад
Нехай
X=
,
тоді нечітку множину «великі числа»
можна уявити таким чином :
А= <<великі числа>>=0,2/6+0,5/7+0,8/8+1/9+1/10.
Тобто 9 і 10 з абсолютною впевненістю відносимо до «великих чисел», 8 є велике число із ступеня 0,8 і т.д. 1,2….5 абсолютно не є «великими числами».
На
практиці зручно використовувати
кусково-лінійну апроксимацію функції
приналежності нечіткої множини. Так,
для значень
та
функція приналежності
(
)
має вигляд, поданий на рисунку 5.1.
Якщо множина Х неперервна, то використовується позначення:
,
(5.2)
де
–
означає сукупність пар
.
Рисунок 5.1 – Кусково-лінійна апроксимація функції приналежності
Властивості нечітких множин:
Нечітка множина АХ є пустою, тобто А=
, якщо
(
)=0,
Х.
2
Нечіткі множини А і В Х
еквівалентні, тобто А=В, якщо
(
)=
(
),
Х.
3
Нечітка множина А
Х
є підмножиною нечіткої множини В
Х,
тобто А
В,
якщо
(
)
(
),
Х.
Приклад
Нехай
Х
,
А=0,3/1+0,5/2+1/3; В=0,4/1+0,6/2+1/3, тоді А
В.
Людина використовує нечіткі множини для оцінки стану систем на наближеному якісному рівні. Наприклад, без термометра можна користуватися шкалою наближених оцінок (рисунок 5.2).
Однак якісній оцінці не притаманна властивість адитивності, як для чисел: 1 см+1 см=2 см і «невелика сума грошей»+ «невелика сума грошей» = ? – це не завжди «велика сума грошей». Якісна оцінка може мати форму лінгвістичної змінної, або нечіткого числа.
Рисунок 5.2 – Шкала наближених оцінок температури
Лінгвістичною
змінною є змінна, яка може бути як вхідною
інформацією (
),
так і вихідною інформацією (
),
з
лінгвістичними значеннями, що виражає
якісну оцінку у словесній формі,
наприклад, температура: висока, нормальна,
низька.
Лінгвістична
терм-множина – це множина всіх
лінгвістичних значень даної лінгвістичної
змінної:
.
Приклад нечіткого числа «близько 10» наведено на рисунку 5.3.
Рисунок 5.3 – Приклад нечіткого числа «близько 10»
Кардинальне
число (потужність) нечіткої множини
(
знаходиться таким чином:
.
(5.3)
Приклад
Якщо
Х=
і
А=0,1/1+0,4/2+0,7/3+1/4, то сard A A=2,2.
Операції над нечіткими множинами:
1
Доповненням нечіткої множини А називається
нечітка множина
,
функція приналежності якої:
(
)=1-
(
),
Х.
(5.4)
2
Перетинанням двох нечітких множин А і
В
Х називається нечітка множина А
В,
функція приналежності якої:
(
)=
(
)
(
),
Х,
(5.5)
де – знак операції мінімуму.
3
Об’єднанням двох нечітких множин А і
В
Х називається нечітка множина А
В,
функція приналежності якої:
(
)=
(
)
(
),
Х,
(5.6)
де – знак операції максимуму.
Приклад
Х=
;
А= «малі числа» = 1/1+1/2+0,8/3+0,5/4+0,3/5+0,1/6;
В= «великі числа»= 0,1/5+0,2/6+0,5/7+0,8/8+1/9+1/10.
Тоді ¬А= «немалі числа»=
= 0,2/3 + 0,5/4 + 0,7/5 + 0,9/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10.
А В= «малі числа» та «великі числа»= 0,1/5+0,1/6.
А В=«малі числа» або «великі числа»=
=1/1+1/2+0,8/3+0,5/4+0,3/5+0,2/6+0,5/7+0,8/8+1/9+1/10.
При формуванні інтелектуальних систем управління використовується така послідовність набуття знань: нечіткі множини – нечітка логіка – нечітка арифметика – нечітке моделювання – нечітке управління. При цьому, в основі цього процесу лежать різні операції над функцією приналежності. Нечітка логіка перекладає нечіткі якісні оцінки на мову математики, що лежить в основі створення штучного інтелекту при управлінні.