5.2 Методи побудови функції приналежності
Функцію
приналежності може бути задано у
графічному, аналітичному, табличному
вигляді або у вигляді сукупностей «+»
«
».
Існують дві групи методів: прямі та непрямі. Прямі методи характеризуються тим, що експерт безпосередньо задає правила визначення значень ( ). Ці значення узгоджуються з його перевагами на множині елементів Х таким чином:
1
Для будь-яких
<
(
)
тоді і тільки тоді, коли
переважає
над
,
тобто у більшому ступені характеризується
властивістю А.
2
Для будь-яких
=
(
)
тоді і тільки тоді, коли для
та
не притаманна властивість А. Однак
недоліком цього методу є велика частка
суб’єктивізму.
Непрямі методи.
1 Побудова функції приналежності з використанням статистичних даних. Нехай експерт спостерігає наявність факту А n-разів, при цьому у k-перевірках факт А мав місце. Тоді експерт реєструє частоту появи факту A, що дорівнює P=k/n та оцінює її частоту за допомогою слів «часто», «рідко» і т. ін. На універсальній шкалі [0,1] необхідно розмістити значення лінгвістичної змінної: дуже рідко; більш-менш рідко; більш-менш часто; дуже часто. Тоді ступінь приналежності деякого значення розраховується як відношення числа експериментів, в яких воно зустрічалося у визначеному інтервалі шкали, до максимального для цього значення числа експериментів по всіх інтервалах. Метод вимагає виконання умови, щоб у кожний інтервал шкали потрапляло однакове число експериментів.
2 Побудова функції приналежності на основі експертних оцінок. Розглянемо особливості побудови функції приналежності для наближених точкових (наприклад, дорівнює 10) та інтервальних оцінок ( приблизно розташовується в інтервалі від 8 до 11). При цьому виконуються такі умови:
якщо
,
то
(
)=1;
якщо
<
,
то
(
)=
(
);
якщо
<
,
то
(
)=
(
),
де
(
)–
функція приналежності нечіткому
інтервалу
,
( ), ( )– функції приналежності нечітким множинам чисел, приблизно рівних відповідно та (рисунок 5.4).
3 Побудова функції приналежності за зрізами.
Існує два способи визначення - зрізів:
;
(5.7)
.
(5.8)
а) б)
Рисунок 5.4 – Функції приналежності для наближеної точкової оцінки (а) та інтервальної оцінки (б)
При =0 - зріз збігається з носієм множини S(A), а при =1 – з його ядром C(A) (рисунок 5.5).
Рисунок 5.5 – Приклад процедури побудови функції приналежності за горизонтальними зрізами
Носій
нечіткої множини представляє чітку
підмножину області визначення
,
яка містить усі елементи x,
ступені приналежності яких множині А
відрізняються від нуля, тобто:
.
(5.9)
Ядро нечіткої множини А – це чітка підмножина області визначення , яка містить всі елементи, що належать множині А зі ступенем, рівним 1:
.
(5.10)
За множиною -зрізів нечіткої множини можна із заданою точністю відтворити його функцію приналежності. Для дискретної множини кількість необхідних зрізів є скінченною величиною, для неперервної множини – в загальному випадку вона нескінченна.
Якщо
на області визначення є відомими елементи
окремих -зрізів
нечіткої множини А, то її функцію
приналежності
можна
апроксимувати таким чином:
,
(5.11)
або
,
(5.12)
де операція sup – це верхня межа, тобто максимальне значення.
Розглянемо приклад.
Нехай задано нечітку множину
.
Побудуємо
зрізи
:
; 
;
; 
;
.
Ступені приналежності елементів -зрізам можуть приймати тільки значення 0 і 1.
Функція приналежності на основі -зрізів буде мати вигляд:
На рисунку 5.5 наведено у графічному вигляді функцію приналежності .
Найбільш поширені види функцій приналежності наведено на рисунку 5.6. На рисунку 5.6, а подано симетричну Гаусову функцію.
,
(5.13)
де
– модальне значення;
– ширина.
На рисунку 5.6, b функція приналежності має форму трикутника:
,
(5.14)
де
,
,
–
числові параметри , що приймають дійсні
значення і впорядковані відношенням
.
a ) b)
c) d)
e) f)
g) i)
Рисунок 5.6 –Типи функції приналежності
На рисунку 5.6, d, 5.6, e, 5.6, f подано різні види багатокутних функцій приналежності, які в аналітичному вигляді описуються кусково-лінійними залежностями, зокрема на рисунку 5.6, f наведено трапецеїдальну функцію приналежності:
.
(5.15)
На рисунку 5.6, g, 5.6, і наведено відповідно ліву і праву сигмоїдальні функції приналежності.
Ліва сигмоїдальна приналежність (рисунок 5.6, g) задається виразом:
(5.16)
де а, b – параметри сигмоїди, а саме коефіцієнт а визначає тангенс кута нахилу функції в точці перегину k, параметр b задає координату точки k, що належить нечіткій множині із ступенем 0,5.
Права сигмоїдальна функція приналежності має вигляд:
.
(5.17)