4.3. Тиск жорсткого штампа з кутовими точками на контур криволінійного отвору нескінченної пластинки

4.3.1. Постановка задачі. Нехай в криволінійний отвір вигляду (2.1) нескінченної ізотропної пластинки товщиною без зазору і натягу ( ) вставлено симетричний відносно осі жорсткий штамп з кутовими точками. До штампа прикладено силу , яка діє вздовж осі симетрії отвору. Зовнішнє навантаження на пластинку відсутнє. Система відліку і схема навантаження штампа зображена на рис. 4.4.

Рис. 4.4. Розрахункова схема задачі

Гладкий контакт між пластинкою і штампом здійснюється на ділянці контуру отвору . Тут - полярний кут, що визначає межу зони контакту.

Розв’язання задачі передбачає визначення контактних зусиль під штампом, а також граничного розміру зони контакту, за якого контактні зусилля в точках дорівнюють нулю.

4.3.2. Вивід інтегральних рівнянь. За умовою задачі штамп може здійснювати тільки поступальне зміщення в напрямку дії сили . Оскільки в кутових точках штампа кривина не визначена, тому граничні умови задачі обираємо у вигляді рівності нормальних зміщень контурних точок пластинки і штампа в зоні контакту. На підставі (2.54), (2.55) при відсутності сил тертя ці умови можна подати у вигляді

;

, , (4.35)

де - горизонтальне зміщення штампа.

Вирази для компонент вектора зміщення контурних точок пластинки (2.14), (2.15) при заданому навантаженні запишемо так:

;

. (4.36)

Тут образ ділянки при відображенні (2.1).

Якщо підставити (4.36) в граничні умови (4.35), то одержимо систему інтегрально-диференціальних рівнянь з логарифмічними ядрами для визначення функцій , :

;

, . (4.37)

Крім системи (4.37), повинна виконуватися умова рівноваги штампа (3.18), яку можна перетворити до вигляду

. (4.38)

Співвідношення (4.37), (4.38) визначають математичну модель поставленої задачі.

Якщо функції , стануть відомі, то контактні зусилля на підставі (4.8) можна визначити за формулою

, . (4.39)

Розглянемо часткові випадки задачі:

• при знаходимо розв’язок задачі про тиск штампа з кутовими точками на контур кругового отвору нескінченної пластинки (рис. 4.5);

Рис. 4.5. Розрахункова схема задачі

• якщо в системі (4.37), (4.38) покласти , то одержимо розв’язок задачі про тиск клиноподібного штампа (зосередженої сили ) на контур криволінійного отвору в нескінченній пластинці (рис. 4.6).

Рис. 4.6. Розрахункова схема задачі

• при збільшенні зони контакту можна досягнути граничного значення кута , для якого нормальні контактні напруження в кутових точках дорівнюють нулю. Це означає, що при граничній зоні контакту штамп з кутовими точками визначає той самий напружений стан, що і гладкий штамп відповідних розмірів.

Для визначення граничного кута поступаємо так. Розв’язуємо систему (4.37), (4.38) для фіксованого значення . Якщо при цьому контактні зусилля у всіх точках проміжку будуть від’ємними, то наступне значення вибираємо на проміжку , а у випадку появи додатних зусиль – на проміжку . Найбільш ефективним є поділ проміжків навпіл. Такий спосіб дозволяє визначити граничний кут контакту із наперед заданою точністю.

4.3.3. Наближений розв’язок задачі. Заміною (4.27) систему (4.37), (4.38) зведемо до стандартного вигляду з проміжком інтегрування

;

, , ;

. (4.40)

Тут введено позначення

; (4.41)

і використано тотожність

. (4.42)

Формулу для визначення контактних зусиль на підставі (4.39) запишемо у вигляді

. (4.43)

Для побудови наближеного розв’язку задачі встановимо структуру функцій , в околі точок .

Диференціюючи перше рівняння (4.40) по , одержимо після певних перетворень

;

, , , (4.44)

де - функція, яка містить регулярні при доданки і сингулярні інтеграли з логарифмічними ядрами.

Система (4.44) повинна бути несуперечною при . Умова несуперечності визначає структуру її розв’язку в кутових точках зони контакту.

Допустимо, що функції , задовольняють на умову Гельдера, а в околі торців мають місце подання

, (4.45)

Тут - функції, які задовольняють умову Гельдера на ; .

Враховуючи співвідношення

(4.46)

де - регулярні при функції, із системи (4.44) одержимо після множення на

;

, (4.47)

причому .

Система (4.47) відносно має ненульовий розв’язок, тому

(4.48)

або

(4.49)

На підставі (4.49) співвідношення (4.45) приймають вигляд

, (4.50)

Таким чином, в околі кінців зони контакту функції , а отже і нормальні зусилля мають кореневу особливість.

Наближений розв’язок задачі будемо шукати методом механічних квадратур і колокації, ефективність якого проілюстровано в задачах контактної взаємодії гладких дисків з контуром криволінійного отвору в нескінченних пластинках.

Згідно з (4.50), розв’язок системи (4.40) обираємо у вигляді

, ( ), (4.51)

де , а функції мають вигляд (4.15).

Враховуючи (4.15), (4.20), запишемо квадратурні формули для обчислення особливих інтегралів, які входять до системи (4.40)

, . (4.52)

Для обчислення регулярних інтегралів застосуємо квадратурну формулу Гаусса

, (4.53)

на підставі якої знаходимо

;

, (4.54)

де

; .

Інтеграли із змінною верхньою межею в (4.40) обчислюються прямим інтегруванням

. (4.55)

Підставляючи (4.51), (4.52), (4.54), (4.55) в систему (4.40) і надаючи аргументу послідовно значення , а аргументу – відповідно значення , одержимо дискретну модель задачі у вигляді системи лінійних алгебраїчних рівнянь для визначення сталих , ,

Якщо ці сталі будуть відомі, то контактні зусилля в точках колокації ( ) на підставі (4.43) визначаються за формулою

, . (4.56)