3.1. Передача моментного навантаження від жорсткого диска до нескінченної пластинки з криволінійним отвором

Розглянемо нескінченну ізотропну пластинку з криволінійним отвором вигляду (2.1), в який з натягом запресовано абсолютно жорсткий диск такої ж форми (рис. 3.1). Під дією пари сил з моментом , яку прикладено в центрі диска, він повертається на кут . У цьому випадку посадка диска в отвір пластинки здійснена з гарантованим натягом, тому зона контакту замкнена або контакт порушується тільки в одній точці. Розв’язання задачі полягає у визначенні напружень на контурі отвору пластинки, величини мінімального натягу та кута повороту диска.

3.1.1. Інтегральні рівняння задачі. Систему прямокутних координат обираємо так, як показано на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Розрахункова схема задачі

Граничні умови задачі (2.71) за наявності в зоні контакту сил тертя, заданих законом Кулона, можна перетворити до вигляду:

;

, . (3.1)

Формули (2.13), (2.15) для визначення компонент вектора зміщення контурних точок пластинки при заданому навантаженні запишемо так:

;

. (3.2)

Сталі , визначаються із умови періодичності зміщень з періодом

, . (3.3)

Підстановка (3.2) в граничні умови (3.1) призводить до системи двох сингулярних інтегральних рівнянь з ядрами Гільберта для визначення функцій , :

;

, . (3.4)

Умову рівноваги диска (2.67), яка служить для визначення кута його повороту, запишемо у вигляді

. (3.5)

Якщо в (3.4), (3.5) підставити , то одержимо відповідну систему рівнянь для пластинки з круговим отвором.

3.1.2. Наближений розв’язок задачі. Встановлення точного розв’язку системи (3.4) пов’язане із значними математичними труднощами. Для її наближеного розв’язання будемо використовувати числові методи.

Оскільки для цієї задачі зона контакту пластинки і диска неперервна, а напружений стан на контурі -періодичний, то величини , шукаємо у вигляді скінченних рядів Фур’є

;

. (3.6)

Диференціюючи позначення до (2.2) по , одержимо

; . (3.7)

Тоді з урахуванням (3.6) запишемо наступні рівності

;

. (3.8)

Вирази для функцій , знаходимо інтегруванням (3.8) по

;

. (3.9)

Тут , - сталі інтегрування.

Використовуючи (3.6), (3.9) та співвідношення

, , (3.10)

квадратурні формули для обчислення сингулярних і регулярних інтегралів, які входять в (3.4), (3.5), записуємо так:

; ;

;

;

. (3.11)

З урахуванням (3.9), (3.11) вирази (3.2) для компонент вектора зміщення подамо у вигляді:

;

. (3.12)

Якщо використати умову періодичності функцій , (3.3) із співвідношень (3.12) визначаємо

. (3.13)

Коли підставити (3.9), (3.12) з урахуванням (3.11), (3.13) в систему (3.4), (3.5) одержимо після розділення парних і непарних частин неперервну математичну модель задачі у вигляді системи чотирьох нелінійних функціональних і одного лінійного алгебраїчного рівнянь для визначення сталих , , , , , , або :

;

;

;

,

;

. (3.14)

Дискретизацію системи (3.14) проводимо методом колокації. Порівнюючи в цій системі значення лівих і правих частин у вузлах колокації ( ), приходимо до дискретної математичної моделі задачі у вигляді системи із лінійних алгебраїчних рівнянь для визначення сталих , , , , , , або . У цій системі величини або і вважаються заданими. При її побудові слід врахувати, що при друге і четверте рівняння (3.14) перетворюються в тотожності виду . Цей факт необхідно враховувати при числовій реалізації задачі.

Якщо сталі , , , , , стануть відомі, то величини , визначаються за формулами (3.6), а компоненти напруженого стану на контурі пластинки – із співвідношень (2.22) – (2.24).

Для встановлення мінімального натягу , за якого на ділянці можливе розмикання контакту лише в одній точці , до системи (3.14) необхідно додати умову рівності нулю в цій точці контактного зусилля

.

На практиці точне визначення кута пов’язане із значними математичними труднощами, тому для наближеного визначення мінімального натягу використовують метод «звуження інтервалу», який полягає у наступному: довільно обирається інтервал зміни натягу , для якого , .

Для натягу розв’язуємо систему рівнянь (3.14) і визначаємо знак контактних зусиль на проміжку . Якщо виявиться, що всі значення від’ємні, то наступне значення натягу вибираємо з проміжку , причому . Якщо серед значень є додатні і від’ємні, то . Процес ітерації продовжується доти, поки інтервал зміни звузиться в точку. Мінімальний натяг визначить точку, в якій контактне зусилля дорівнює нулю. Такий метод локалізації точки розмикання контакту між пластинкою і диском називається дихотомією.

Якщо покласти в системі (3.14) , одержимо розв’язок задачі про передачу моментного навантаження від жорсткого диска до пластинки з криволінійним отвором при відсутності в зоні контакту сил тертя.