2.3. Граничні умови контактних задач для нескінченної пластинки з криволінійним отвором і жорсткого диска

Граничні умови задач формулюються у вигляді умов сумісного деформування пластинки і диска в спільній серединній площині.

2.3.1. Запресовка жорсткого диска з гарантованим натягом. Припустимо, що в криволінійний отвір вигляду (2.1) нескінченної пластинки запресовано з натягом абсолютно жорсткий диск такої ж форми (рис. 2.3). Вважаємо, що величина має порядок пружних зміщень.

Рис. 2.3. Схема взаємодії пластинки і диска

Рівняння контуру в серединній площині диска у вибраній системі координат на підставі (2.1) має вигляд

. (2.52)

Будемо умовно вважати, що до спряження з пластинкою диск мав форму та розміри отвору і його контур визначався рівнянням

. (2.53)

Після того, як диск був вставлений в отвір пластинки без зазору і натягу, він почав „збільшуватися” до вигляду (2.52).

Граничні умови контакту пластинки і диска приймаємо у вигляді рівності нормальних зміщень контурних точок пластинки і диска

, . (2.54)

Якщо в зоні контакту наявні сили тертя, то необхідно задати закон зміни дотичних напружень

, . (2.55)

Для визначення використаємо формулу (2.16), на підставі якої можна записати

. (2.56)

Після певних перетворень із (2.56), одержимо

, (2.57)

де ; .

Аналогічний вираз знаходимо для нормального “зміщення” диска

. (2.58)

Тут , – компоненти вектора “зміщення” контурних точок диска. Їх визначаємо за формулою

. (2.59)

Коли розділимо в (2.59) дійсну і уявну частини, одержимо

; .

Враховуючи останні співвідношення, із (2.58) після певних перетворень знаходимо

. (2.60)

Підставляючи (2.60), (2.57) в (2.54), одержимо граничні умови задачі про напружену посадку жорсткого диска вигляду (2.52) в криволінійний отвір нескінченної пластинки

;

, . (2.61)

2.3.2. Передача моментного навантаження. Нехай в криволінійний отвір вигляду (2.1) нескінченної пластинки без зазору і натягу ( ) вставлено жорсткий диск, в центрі якого прикладено пару сил з моментом . Внаслідок цього диск повернеться на кут і вступить в контакт з частиною контуру пластинки. Образом контуру диска при повороті на кут буде крива

. (2.62)

На рис. 2.4 її положення для еліптичного отвору зображене суцільною лінією.

За аналогією з (2.59) запишемо вираз для компонент зміщення контурних точок диска

. (2.63)

Після розділення в останньому співвідношенні дійсних і уявних частин знаходимо

;

. (2.64)

Рис. 2.4. Схема взаємодії пластинки і диска

Підставляючи , із (2.64) в (2.58) замість , , отримаємо

. (2.65)

З урахуванням (2.65) граничні умови (2.54), (2.55) для даної задачі запишуться у вигляді

;

, , (2.66)

де , – відповідно зона контакту і її образ при відображенні (2.1).

Для визначення кута повороту диска служить моментна умова його граничної рівноваги

. (2.67)

Формула (2.65) відрізняється першим доданком в правій частині від відповідної формули для еліптичного отвору, одержаної М.І. Мусхелішвілі. Таким же доданком будуть відрізнятися праві частини граничних умов (2.66). Оскільки для малих деформацій , , тому доданками з множником в (2.65) будемо нехтувати. Це означає, що граничні умови (2.66) можна записати у вигляді

;

, . (2.68)

2.3.3. Сумарна дія натягу і моментного навантаження. Розглянемо комбінацію задач, наведених у попередніх пунктах, і будемо вважати, що в криволінійний отвір вигляду (2.1) нескінченної пластинки запресовано з натягом жорсткий диск такої ж форми. В центрі диска прикладено пару сил з моментом . Оскільки „збільшення” і поворот диска є лінійні перетворення, тому

. (2.69)

Якщо сили тертя в зоні контакту задані законом Кулона, то

, , (2.70)

де – коефіцієнт тертя ковзання.

Коли підставити (2.69), (2.60), (2.65) в граничну умову (2.54) при , та врахувати співвідношення (2.70), одержимо граничні умови задачі про передачу обертального моменту від абсолютно жорсткого диска, запресованого в криволінійний отвір нескінченної пластинки

;

, . (2.71)

У залежності від величини зона контакту може бути замкнена або розімкнена. Якщо , то маємо задачу про напружену посадку жорсткого диска з гарантованим натягом, при якому зона контакту охоплює весь контур . При на контурі , крім зон контакту, наявні зони відставання диска від пластинки. Величина визначає мінімальний натяг, при якому контакт між пластинкою і диском порушується тільки в одній точці. Коли підставимо в (2.71) , одержимо граничні умови задачі для пластинки з круговим отвором.

2.3.4. Сумарна дія натягу і силового навантаження. Припустимо, що в криволінійний отвір вигляду (2.1) нескінченної пластинки запресовано з натягом абсолютно жорсткий диск такої ж форми (рис. 2.5). Вважаємо, що величина має порядок пружних зміщень. У центрі диска прикладено силу , яка діє вздовж осі симетрії отвору. При одержуємо посадку диска із натягом, – із зазором.

Граничні умови задачі обираємо у вигляді рівності кривин пластинки і диска в зоні контакту. За наявності сил тертя, які задані законом Кулона, ці умови записуємо так:

, , . (2.72)

Рис. 2.5. Розрахункова схема задачі

Формула для обчислення кривини деформованого контуру пластинки має вигляд:

, (2.73)

де - кривина недеформованого контуру отвору.

Другий і третій доданки у правій частині (2.73) характеризують зміну кривини за рахунок видовження контуру та його згину.

Для контуру (2.1) мають місце такі залежності:

; . (2.74)

З урахуванням (2.22), (2.74) формула (2.73) набуває вигляду:

. (2.75)

Кривина контуру диска визначається із співвідношення

. (2.76)

Підставляючи (2.75), (2.76) з урахуванням (2.22) в (2.72), одержимо після певних перетворень остаточний варіант граничних умов задачі

;

. (2.77)

Зауважимо, що для жорсткого штампа з кутовими точками граничні умови (2.77) використовувати не можна, бо в кутових точках диска кривина не визначена. У цьому випадку граничні умови слід обирати у вигляді рівності нормальних зміщень контурних точок пластинки і штампа.

Якщо в (2.77) підставити , то одержимо граничні умови задачі для пластинки з круговим отвором

; , . (2.78)

РОЗДІЛ 3

ВЗАЄМОДІЯ ЖОРСТКОГО ДИСКА З контуром

КРИВОЛІНІЙНого ОТВОРу НЕСКІНЧЕННОЇ ПЛАСТИНКИ

ПРИ ЇХ ПОВНОМУ КОНТАКТІ

З’єднання з натягом (пресові з’єднання), які мають широке застосування в машинобудуванні, характеризуються високим рівнем концентрації напружень в зоні контакту, що негативно впливає на втомну міцність сполучуваних деталей. Величина натягу визначається зовнішнім навантаженням, яке передається від вала до диска, та наявністю сил тертя.

Циліндричні з’єднання кругової форми дозволяють передавати від одного тіла до іншого значні зусилля. Але якщо необхідно передати обертальний момент, то його величина обмежена і залежить від величини натягу та сил тертя. Сучасна технологія призвела до створення нових форм сполучуваних циліндричних поверхонь (профільні з’єднання). Вони забезпечують краще центрування і відрізняються високою витривалістю та надійністю через відсутність пазів, отворів, зубів або інших концентраторів напружень. Якщо циліндричні поверхні мають не кругову форму, то такі пресові з’єднання дозволяють передавати як значні зусилля, так і значні моменти при мінімальному натягу, який забезпечує повний контакт і зменшує енергоємність процесу сполучення.