Розділ 5 Двосторонній контакт круглого пружного диска і двох симетричних жорстких штампів
Теоретичну основу розрахунку гальмівних пристроїв в передачах обертального руху складають задачі про стиск з тертям пружного круглого циліндра (диска) двома центральносиметричними жорсткими штампами.
У цьому розділі побудовано математичні моделі таких задач у вигляді систем сингулярних інтегрально-диференціальних рівнянь з ядрами Гільберта або логарифмічними ядрами. Їх числова реалізація проводиться методом механічних квадратур і колокації.
5.1. Стискування пружного круглого диска двома жорсткими штампами з гладким контуром
5.1.1.
Постановка задачі.
Нехай пружний круглий диск радіусом
стискається силами
через два центральносиметричні штампи,
як це показано на рис. 5.1, а в центрі диска
діє пара сил з моментом
.
Позначимо через
радіус кривини контактуючої з диском
циліндричної поверхні штампів і будемо
вважати, що величина
має порядок пружних зміщень.
Рис. 5.1. Розрахункова схема задачі
У результаті дії
на диск вказаних силових факторів на
його бічній поверхні виникає дві
центральносиметричні ділянки контакту
і
з контактними зусиллями
,
,
які необхідно визначити.
Систему прямокутних
і полярних
координат з полюсом в центрі диска
оберемо так, щоб вісь
і полярна вісь співпадали з лінією дії
сил
.
Через
,
позначимо полярні кути ділянок контакту
і
відповідно. Вважаємо, що сили тертя між
контактуючими тілами задані законом
Кулона.
5.1.2. Математична модель задачі. Граничні умови задачі на ділянках контакту обираємо у вигляді рівності кривин диска і штампа. На підставі (2.78) їх можна подати у вигляді.
;
,
.
(5.1)
Враховуючи центральну симетрію задачі, ці умови записані тільки на ділянці .
Співвідношення
(2.47), (2.48) для визначення величин
,
при заданому навантаженні запишемо
так:
;
.
(5.2)
Тут враховано, що
;
;
;
;
.
(5.3)
Підстановка (5.2) в
граничні умови (5.1) призводить до системи
двох інтегрально-диференціальних
рівнянь з ядрами Гільберта для визначення
контактних зусиль
,
;
,
,
(5.4)
яку можна звести до одного інтегродиференціального рівняння відносно функції
,
. (5.5)
Крім рівняння (5.5), повинні виконуватися моментна умова рівноваги диска
(5.6)
та силова умова рівноваги штампа
.
(5.7)
Перша з них служить для визначення граничного значення , а інша – для визначення величини зони контакту.
Співвідношення
(5.5) – (5.7) визначають математичну модель
задачі, яка розглядається. У випадку
відсутності сил тертя між диском і
штампами (
)
ця модель приймає вигляд
,
;
.
(5.8)
Якщо контактні зусилля стануть відомі, то кільцеві зусилля на контурі згідно з (2.49) можна визначити за формулою
.
(5.9)
5.1.3. Наближений розв’язок задачі. Точний розв’язок системи (5.5) – (5.7) знайти не вдається. Для її наближеного розв’язання використаємо метод механічних квадратур і колокації, запропонований у підрозділі 4.2.
Заміною змінних
;
;
,
(5.10)
де
;
;
;
;
(5.11)
цю систему перетворимо до вигляду
,
;
;
.
(5.12)
Тут введено позначення
;
.
Враховуючи
обмеженість контактних зусиль на кінцях
ділянки контакту
,
наближений розв’язок системи (5.12)
обираємо у вигляді
,
,
(5.13)
де
- обмежена і неперервна на
функція, яку можна подати у вигляді
(4.15)
,
.
Тоді
,
.
(5.14)
Квадратурну формулу для обчислення сингулярного інтеграла в (5.12) на підставі (4.33) запишемо так:
,
.
(5.15)
Диференціюючи залежності (5.14), (5.15) по з урахуванням (4.34), знаходимо
;
.
(5.16)
Регулярні інтеграли із системи (5.12) на підставі (4.17), (4.30) визначаються за формулами
;
;
,
(5.17)
де
.
Підставляючи
(5.14) – (5.17) в систему рівнянь (5.12), приходимо
до математичної моделі задачі у вигляді
системи функціональних рівнянь для
визначення сталих
,
величини зони контакту
та граничного значення
.
Приймаючи в цій системі
,
(
),
одержимо систему лінійних алгебраїчних
рівнянь відносно
.
Величина зони контакту визначається із останнього рівняння (5.12) за процедурою, наведеною в підрозділі 4.2.
Якщо сталі стануть відомі, то значення і у вузлах колокації визначаються за формулами
;
(
).
(5.18)