6.2. Тиск пружного круглого диска на контур отвору нескінченної пластинки при їх спряженні із зазором

6.2.1. Постановка задачі. Розглянемо пружну ізотропну пластинку товщиною з круговим отвором радіусом , в який вставлено (запресовано) пружний диск із іншого матеріалу радіусом . У центрі диска прикладена зосереджена сила і зосереджена пара сил з моментом .

За дії такого навантаження диск тисне на контур отвору пластинки і намагається здійснити поворот навколо свого центра. У результаті цього в зоні контакту виникають контактні зусилля і . Вважаємо, що пластинка і диск перебувають в умовах статичної рівноваги, а зазор має порядок пружних зміщень.

Розв’язання задачі передбачає визначення контактних зусиль та величини і положення зони контакту.

За наявності сил тертя ковзання точка початкового дотику пластинки і диска одержить зміщення в бік, протилежний до напрямку дії момента . У результаті цього зона контакту відносно лінії дії сили стане несиметричною, що призведе до значних труднощів при розв’язанні задачі. З огляду на це введено розрахункову схему, яка зображена на рис. 6.2.

Рис. 6.2. Розрахункова схема задачі

Систему прямокутних і полярних координат з початком в центрі отвору (диска) оберемо так, щоб вісь і полярна вісь співпадали з віссю симетрії зони контакту. Якщо через позначити кут зміщення центру цієї зони, то вздовж координатних осей будуть діяти сили , .

При вказаному виборі системи відліку область контакту симетрична відносно осі , а в центрі диска діють сили , і пара сил з моментом .

6.2.2. Математична модель задачі. Граничні умови задачі в зоні контакту обираємо у вигляді рівності кривин в контурних точках пластинки і диска. Якщо сили тертя задані законом Кулона, то на підставі (6.1) ці умови можна записати у вигляді

, , ; (6.16)

де , .

Якщо врахувати, що в зоні контакту , , то вирази (2.23), (2.47), (2.48) для визначення компонент тензора деформації на контурі пластинки і диска при заданому навантаженні можна подати у вигляді:

;

;

;

, . (6.17)

Підставляючи (6.17) в граничні умови (6.16), одержимо сингулярне інтегродиференціальне рівняння з ядром Гільберта для визначення контактного зусилля

, . (6.18)

Тут враховано, що при

.

Крім рівняння (6.18), повинні виконуватися силові

; (6.19)

та моментна

(6.20)

умови рівноваги диска.

Для визначення кута маємо співвідношення

, (6.21)

а величина зони контакту визначається із умов

. (6.22)

Співвідношення (6.18) – (6.20) визначають математичну модель задачі про внутрішній стиск пружних циліндричних тіл при їх спряженні з зазором.

Розглянемо окремі випадки задачі:

• підставляючи в (6.18) – (6.20) ( ), одержимо задачу про тиск гладкого пружного диска на контур кругового отвору нескінченної ізотропної пластинки;

• при система (6.18) – (6.20) визначає розв’язок задачі про тиск на контур кругового отвору пластинки абсолютно жорсткого диска (див. підрозділ 4.2 при ).

Точний розв’язок рівняння (6.18) знайти не вдається. Оскільки його ліва частина має таку ж структуру, як і ліві частини системи (4.25) при , то наближений розв’язок задачі можна знайти методом механічних квадратур і колокації, що розглядався в підрозділі 4.2.

Для оцінки збіжності і ефективності цього методу розглянемо задачу про силову взаємодію без тертя пружного диска з контуром кругового отвору нескінченної пластинки, що виготовлені із матеріалів з однаковими характеристиками. Для цієї задачі відомий точний розв’язок.

Інтегродиференціальне рівняння задачі одержимо, якщо в (6.18) підставити , , , , ,

, . (6.23)

6.2.3. Побудова точного розв’язку рівняння (6.23). В рівнянні (6.23) проведемо заміну змінних, вважаючи

; . (6.24)

Тоді

; ; ;

; ; . (6.25)

Підставивши (6.25) в рівняння (6.23) та використавши при цьому тотожність

, (6.26)

одержимо

, . (6.27)

Тут введено позначення:

, . (6.28)

Загальний розв’язок рівняння (6.27) визначається формулою

, , (6.29)

де - довільна стала.

Підставляючи в (6.29) значення функції відповідно до (6.28), виконуючи при цьому інтегрування, одержимо

,

. (6.30)

При виведенні формули (6.30) використаємо такі співвідношення

;

, . (6.31)

Функція для цієї задачі непарна, тому . Зважаючи на це, формулу (6.30) запишемо у вигляді

, . (6.32)

На підставі (6.25) функцію визначаємо із залежності

, ; , (6.33)

де - стала інтегрування.

Підставляючи (6.32) в (6.33) з урахуванням формул

; (6.34)

,

знаходимо після інтегрування

, ; . (6.35)

На кінцях зони контакту , тому . З огляду на це вираз (6.35) для визначення контактного зусилля набуває вигляду:

, ; . (6.36)

Сталу на підставі (6.28) визначаємо з умови

. (6.37)

Підставляючи (6.32), (6.36) в (6.37), одержимо після інтегрування і певних перетворень

. (6.38)

При обчисленні інтегралів в (6.37) використані такі формули

;

;

; (6.39)

.

Із врахуванням (6.38) формулу (6.35) для визначення контактного зусилля запишемо так

, ; . (6.40)

Для визначення величини зони контакту використаємо силову умову рівноваги диска (6.19), яку для цієї задачі можна перетворити до вигляду:

. (6.41)

Враховуючи (6.40) і співвідношення

; (6.42)

, (6.43)

із (6.41) одержимо рівняння для визначення

. (6.44)

З цього рівняння випливає, що величина області контакту для розглядуваної задачі залежить від різниці радіусів , модуля Юнга і величини стискуючої сили .

У випадку, коли радіуси кривин контактуючих тіл рівні, то контактні зусилля визначаються за формулою (6.40), в якій слід задати

, ; . (6.45)

Граничний розмір ділянки контакту на підставі (6.44) визначається з рівняння

(6.46)

і не залежить від величини стискуючої сили.

Рівняння (6.46) належить до класу трансцендентних, тому його розв’язок можна встановити лише числовими методами.

Якщо контактні зусилля стануть відомі, то кільцеві зусилля на контурах пластинки і диска можна визначити за формулами (6.11), які для розглядуваної задачі приймають вигляд:

;

, . (6.47)