5.2. Стискування пружного круглого диска двома жорсткими штампами, що мають кутові точки

5.2.1. Постановка задачі. Розглянемо пружний круглий диск радіусом , який стискається зрівноваженими силами через два центральносиметричні штампи, що мають кутові точки. В центрі диска діє пара сил з моментом . Вважаємо, що кривини диска і штампів в зонах контакту однакові ( ).

Розрахункова схема пластинки і система відліку наведені на рис. 5.2. Як і в попередній задачі через , , , позначимо полярні кути ділянок контакту і контактні зусилля між диском і штампами. Вважаємо, що сили тертя на ділянках контакту задані законом Кулона.

Рис. 5.2. Розрахункова схема задачі

Розв’язання задачі передбачає визначення контактних зусиль під штампами і граничного розміру ділянки контакту.

5.2.2. Математична модель задачі. Оскільки кривина контуру штампа в кутових точках не визначена, тому граничні умови задачі обираємо у вигляді рівності нормальних зміщень контурних точок диска і штампа в зоні контакту. На підставі (2.71) ці умови можна записати так:

;

, , (5.19)

де – горизонтальне жорстке зміщення штампа.

Формули (2.43), (2.44) для визначення величин , у даному випадку приймають вигляд:

;

. (5.20)

Тут введена заміна

;

і враховані залежності

;

.

Сталі , визначаємо з умови періодичності зміщень контурних точок диска

. (5.21)

У результаті певних перетворень із (5.20), (5.21) знаходимо

. (5.22)

Підставляючи (5.20) з урахуванням (5.22) в граничні умови (5.19), одержимо систему двох сингулярних інтегрально-диференціальних рівнянь з логарифмічними ядрами для визначення функцій ,

;

, . (5.23)

Крім системи (5.23), повинні виконуватися моментна умова рівноваги диска

(5.24)

і силова умова рівноваги штампа

, (5.25)

які служать для визначення граничного значення і сталої .

Співвідношення (5.23) – (5.25) визначають математичну модель поставленої задачі.

Якщо функції , стануть відомі, то контактні зусилля між диском і штампом можна визначити за формулами

; , . (5.26)

Заміною змінних (4.27) систему рівнянь (5.23) – (5.25) перетворимо до вигляду

, ; ;

;

; , (5.27)

де , .

5.2.3. Наближений розв’язок задачі. Встановимо структуру функцій , на кінцях проміжку . З цією метою продиференціюємо перше рівняння системи (5.27) по . У результаті певних перетворень одержимо

;

, (5.28)

де - функція, яка містить регулярні при доданки та сингулярні інтеграли з логарифмічними ядрами.

Припустимо, що функції , задовольняють на умову Гельдера, а в околі торців мають місце подання

; ( ). (5.29)

Тут - функції, які задовольняють умову Гельдера на ; , .

Враховуючи співвідношення

, (5.30)

де - регулярні при функції, із системи (5.28) одержимо після множення на

;

. (5.31)

Тут

.

Система (5.31) відносно , має ненульовий розв’язок, тому її визначник дорівнює нулю

. (5.32)

Із рівняння (5.32) визначаємо

; . (5.33)

Якщо в зоні контакту тертя відсутнє, то

. (5.34)

З урахуванням (5.33) функції (5.29) можна записати у вигляді

, ( ), (5.35)

де .

Співвідношення (5.35) показують, що при наявності сил тертя в зонах контакту, функції , в околі точок мають особливість, відмінну від кореневої.

Якщо коефіцієнт тертя ковзання між диском і штампом змінюється в діапазоні , то . У такому випадку множник в правій частині (5.35) можна внести у функцію , а подати у вигляді

, , ( ). (5.36)

Оскільки система (5.27) має таку ж структуру, як і система (4.40) при , то метод механічних квадратур і колокації її наближеного розв’язання, запропонований в підрозділі 4.3, переноситься без змін.

Якщо функції , стануть відомі, то контактні зусилля між диском і штампом можна визначити за формулами (5.26), які набувають вигляду

;

, , . (5.37)