4.2. Передача силового навантаження від жорсткого диска до нескінченної пластинки з криволінійним отвором

4.2.1. Постановка задачі. Розглянемо нескінченну ізотропну пластинку з гладким криволінійним отвором (2.1), в який із натягом вставлено (запресовано) абсолютно жорсткий диск. В центрі диска прикладена сила , яка діє вздовж осі його симетрії (рис.4.3).

Внаслідок гладкої взаємодії пластинки і диска на контурі виникають дві зони: – зона контакту; – зона відставання.

Розв’язання задачі передбачає визначення напружень на контурі отвору та величини зони контакту.

Рис 4.3. Розрахункова схема задачі

4.2.2. Вивід інтегродиференціальних рівнянь. Враховуючи симетричність задачі відносно осі , співвідношення (2.20), (2.21) при заданому навантаженні запишемо у вигляді

;

, (4.23)

де – образ зони контакту при відображенні (2.1).

Граничні умови задачі при відсутності в зоні контакту сил тертя запишемо у вигляді рівності кривин контуру пластинки і диска. З урахуванням (3.15) їх можна подати у вигляді

;

, . (4.24)

Підстановка (4.23) з урахуванням (2.74) в граничні умови (4.24) призводить до системи двох сингулярних інтегродиференціальних рівнянь з ядрами Гільберта для визначення в зоні контакту величин ,

;

, . (4.25)

Крім системи (4.25), повинна виконуватися силова умова рівноваги диска

, (4.26)

яка служить для визначення величини зони контакту.

Система рівнянь (4.25) і умова (4.26) визначають математичну модель задачі про тиск гладкого штампа на контур криволінійного отвору нескінченної пластинки.

4.2.3. Наближений розв’язок задачі. Точний розв’язок системи (4.25), (4.26) знайти не вдається. Для побудови її наближеного розв’язку використаємо метод механічних квадратур і колокації, запропонований в попередньому підрозділі.

Заміною змінних

; ; ;

; ; ;

; ; (4.27)

систему (4.25), (4.26) перетворимо до вигляду

;

, ;

. (4.28)

На підставі (4.14) наближений розв’язок системи (4.28) шукаємо у вигляді

; , , (4.29)

де функції , визначаються за формулами (4.15), (4.16).

З урахуванням співвідношень (4.17), (4.18) квадратурні формули для обчислення регулярних інтегралів в системі (4.28) запишемо так:

;

;

;

. (4.30)

Заміною , сингулярні інтеграли із системи (4.28) і вирази (4.29) перетворимо до вигляду

;

,

, . (4.31)

Для обчислення сингулярного інтеграла використаємо формулу

, (4.32)

Підставляючи другу рівність (4.31) з урахуванням (4.32) у праву частину першої, одержимо після певних перетворень

. (4.33)

При виведенні (4.33) використано тотожність

.

Інші доданки в системі (4.28) визначаються за формулами:

;

. (4.34)

Підстановка (4.31), (4.33), (4.34) в (4.28) призводить до системи функціональних рівнянь для визначення сталих , . Покладаючи в цій системі , ( ) та порівнюючи в цих точках значення лівих і правих частин одержимо систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно , .

У цій системі невідома величина входить нелінійно. Для її визначення виконаємо ряд дій: розв’яжемо систему (4.28) для фіксованого значення і перевіримо виконання умови (4.26). Якщо права частина (4.26) менша ніж ліва, то наступне значення вибираємо на проміжку , якщо навпаки – то . Найбільш ефективним є послідовний поділ проміжків або навпіл. Такий спосіб дозволяє визначити граничний кут контакту із наперед заданою точністю.

Якщо функції , стануть відомі, то компоненти напруженого стану на контурі отвору можна визначити за формулами (2.22) – (2.24).