Практична робота 1. Фінансово-математичні основи економічного обґрунтування господарських рішень

Концепція вартості грошей у часі.

Однім з основних положень теорії фінансів і аналізу інвестицій є концепція вартості грошей у часі. Його суть полягає в тому, що одна й та сама сума грошей зараз коштує дорожче, ніж в майбутньому, тому що може бути інвестована, це принесе додатковий прибуток. На цьому принципі заснований підхід до оцінки економічної ефективності господарських рішень.

Враховуючи, що інвестування зазвичай тривалий процес, в господарській практиці доводиться порівнювати вартість грошей на початку інвестування в реалізацію рішення з вартістю грошей при їх поверненні у вигляді майбутнього прибутку. В процесі порівняння вартості грошових коштів в різні моменти часу використовують два основних поняття: сучасна вартість грошей і майбутня вартість грошей.

Сучасна вартість грошей – це сума майбутніх грошових надходжень, приведених до дійсного моменту часу з урахуванням певної процентної ставки. Розрахунок сучасної вартості грошей називається процесом дисконтування (discounting) майбутньої вартості, який представляє собою поетапне зменшення майбутніх надходжень на суму процентних платежів, які могли б бути нараховані за цей час. Типовою в даному випадку є така задача: яку суму потрібно інвестувати зараз, щоб отримати 1000 через 5 років.

Майбутня вартість грошей – це сума, в яку перетворяться інвестовані зараз грошові кошти через якийсь період часу з урахуванням певної процентної ставки. Розрахунок майбутньої вартості грошей називається процесом компаундування (compounding) або нарощування початкової вартості, який представляє собою поетапне збільшення вкладеної суми шляхом додавання до її початкового розміру суми процентних платежів. Цей процес є зворотнім до дисконтування.

В економічному обґрунтування господарських рішень частіше використовують процес дисконтування, як такий, що дозволяє отримувати більш наочні результати. При цьому не залежно від способу розрахунку арифметично вартість грошей в майбутньому завжди вище.

Елементи теорії процентів

При аналізі господарських рішень прийнято використовувати складні проценти. Складним процентом називається сума доходу, яка утворюється в результаті інвестування грошей за умов, що сума нарахованого простого проценту не виплачується в кінці кожного періоду, а додається до суми основного вкладу і в наступному платіжному періоді сама приносить дохід.

Основна формула теорії процентів визначає майбутню вартість грошей:

(1.1)

де Р – сучасне значення вкладеної суми грошей;

F – майбутнє значення вартості грошей;

t – кількість років періоду, на який відбувається вкладення;

i – норма дохідності (прибутковості) вкладення на рік.

Найпростішим способом цю формулу можна інтерпретувати як визначення депозитного вкладу в банк за ставкою i (в долях одиниці).

Суть процесу нарощування грошей не змінюється, якщо вони інвестуються в якийсь реальний проект. Головне, щоб вкладення коштів забезпечувало дохід (збільшення вкладеної суми).

Приклад. Банк виплачує 5% річних за депозитним вкладом. Згідно формулі (1.1) 100 грн., вкладені зараз, через 5 років стануть:

(грн.)

Процес нарощування можна представити у вигляді таблиці:

Рік	Позначення	Вартість грошей, грн.
0	P	100,00
1	F1	105,00
2	F2	110,25
3	F3	115,76
4	F4	121,55
5	F5	127,63

На практиці майже завжди вказується річна ставка депозиту, але нарахування процентів може здійснюватися декілька разів на рік, тоді формула майбутньої вартості (1.1) зміниться:

(1.2)

де n – число періодів нарахування процентів на рік.

Приклад. Якщо в попередньому прикладі нарахування процентів не щорічне, а щоквартальне, то згідно формули (1.2) отримаємо:

(грн.)

Сучасне значення вартості майбутньої суми грошей розраховується за допомогою формули:

(1.3)

яка є простим оберненням формули (1.1).

Приклад. Інвестор бажає отримати 200 грн. через 2 роки. Яку суму він має покласти на депозит зараз, якщо депозитна процентна ставка складає 5%?

За допомогою формули легко визначити:

(грн.)

Зрозуміло, що формула (1.3) лежить в основі процесу дисконтування. Тут величина i – ставка дисконту.

Розглянутий приклад можна інтерпретувати таким чином: 200 грн. через 2 роки рівноцінні 181,4 грн. зараз.

У випадку, коли на рік відбувається нарахування процентів n разів формула (1.3) перетворюється:

(1.4)

В інвестиційному аналізі величина i називається ставкою дисконту або просто дисконтом, а величини і часто називають відповідно множниками або коефіцієнтами нарощування і дисконтування.

Дисконт – це процентна ставка, яка застосовується до грошових сум, які інвестор планує отримати в майбутньому, для того, щоб визначити розмір інвестицій у теперішній час. При визначенні дисконтних ставок враховують такі принципи:

- з двох майбутніх надходжень вищу дисконтну ставку матиме те, що надійде пізніше;

- чим нижчий визначений рівень ризику, тим нижчою повинна бути ставка дисконту;

- якщо загальні процентні ставки на ринку зростають, зростають і дисконтні ставки.

Дисконт може зменшитись, якщо існує перспектива ділового підйому, зниження інфляції та процентних ставок. Якщо зменшується дисконт, то зростає теперішня вартість майбутніх доходів.

Множник дисконтування – поточна вартість 1 грн. за період t, дисконтована на відсоток i за кожний період.

Нарощування і дисконтування одиничних грошових сум зручно здійснювати за допомогою фінансових таблиць (додаток А, Б). У фінансових таблицях по горизонталі вказані ставки процентів, а по вертикалі – номер періоду. На перетині цих значень можна знайти величину відповідно множника нарощування або дисконтування.

Грошові потоки. Їх нарощування та дисконтування

Оскільки процес прийняття і реалізації господарського рішення, як правило, має певну тривалість в практиці оцінки ефективності доводиться мати справу не з одиничними грошовими сумами, а з потоками грошових коштів.

Грошовий потік – це ряд послідовних платежів, які здійснюються через певні проміжки часу. Грошовий потік характеризується рядом параметрів:

елемент грошового потоку – розмір кожного окремого платежу;

період грошового потоку – часовий інтервал між платежами;

термін грошового потоку – час від першого до останнього платежу;

процентна ставка – ставка, яка використовується для розрахунку нарощування або дисконтування платежів, що складають грошовий потік.

Ануїтет – це грошовий потік з однаковими за розміром елементами і періодами, тобто це ряд послідовних фіксованих платежів, які здійснюються через рівні проміжки часу.

Обчислення нарощених і дисконтних сум грошових коштів здійснюється шляхом використання формул майбутньої і теперішньої вартості грошей для кожного елементу грошового потоку.

Елемент грошового потоку позначають як CF_k (від англ. Cash Flow), де t – номер періоду, за який отримано грошовий потік. Сучасне значення грошового потоку прийнято позначати PV (Present Value), а майбутнє значення – FV (Future Value).

Використовуючи формулу майбутньої вартості для кожного елементу грошового потоку від 0 до T, отримаємо майбутню вартість грошового потоку:

FV = CF₀(1 + i)^T + CF₁(1 + i)^T-1 + …+ CF_T(1 + i)^T-T = , (2.1)

де t – номер періоду.

Приклад 1. Після впровадження заходів зі зниження адміністративних видатків підприємство планує отримати економію в першому році 100, в наступні 3 роки 200 щорічно, в п’ятому році 300. Зекономлені кошти планується вкладати на депозитний рахунок під 5% річних з тим, щоб через 5 років накопичені кошти направити на інвестування. Яка сума буде на рахунку підприємства через 5 років?

Для розрахунку використаємо таблицю.

Рік	1	2	3	4	5
Сума надходження	100	200	200	200	300
Коефіцієнт (множник) нарощування	1,2155	1,1576	1,1025	1,0500	1
Нарощена сума	121,55	231,52	220,50	210,00	300,00
Накопичена через п’ять років сума					1083,57

Таким чином, FV = 1083,57.

Для розрахунку майбутньої вартості ануїтету використовується формула:

, (2.2)

яка випливає з формули (2.1), при CF_t = const і CF₀ = 0.

Приклад 2. Після впровадження заходів зі зниження адміністративних видатків підприємство планує отримати економію 1000 грн. на рік. Зекономлені кошти планується вкладати на депозитний рахунок під 5% річних з тим, щоб через 5 років накопичені кошти направити на інвестування. Яка сума буде на рахунку підприємства через 5 років?

З таблиці попереднього прикладу знаходимо суму коефіцієнтів нарощування:

FV = 1000  5,8019 = 5801,9 (грн.).

Сучасна вартість грошового потоку визначається як сума сучасних вартостей окремих елементів грошового потоку за допомогою формули:

PV=CF₀ + (2.3)

Приклад 3. Визначимо сучасну вартість для грошового потоку з прикладу 1. Для цього побудуємо таблицю.

Рік	1	2	3	4	5
Сума надходження	100	200	200	200	300
Коефіцієнт (множник) дисконтування	0,9524	0,9070	0,8638	0,8227	0,7835
Дисконтована сума	95,24	181,41	172,77	164,54	235,06
Дисконтована сума за п’ять років					849,01

_{Таким чином, PV = 849,01.}

_{Дисконтування ануїтету здійснюється за формулою:}

(2.4)

Приклад 4. Знайдемо сучасну вартість ануїтету з прикладу 3. З таблиці попереднього прикладу знаходимо суму коефіцієнтів дисконтування:

FV = 1000  4,3295 = 4329,5 (грн.).

За результатами розрахунків видно, що нарощена сума суттєво більше, а дисконтована – менше, ніж арифметична сума елементів грошового потоку без урахування вартості грошей у часі.

Майбутнє і сучасне значення ануїтету можна розраховувати за допомогою фінансових таблиць (додаток В, Г) аналогічно визначенню майбутньої і сучасної вартості одиничних грошових сум.

Завдання.

Задача 1. Ви купили шестирічний 8%-й ощадний сертифікат вартістю $1000. Якщо проценти нараховуються щорічно, яку суму Ви отримаєте наприкінці контракту?

Задача 2. Фінансовий менеджер підприємства запропонував Вам інвестувати $5000 в його підприємство, пообіцявши повернути $6000 через 2 роки. Визначте процентну ставку прибутковості цього вкладення.

Задача 3. Вам пропонують вкласти гроші с гарантією подвоєння їх суми через 5 років. Скільки становить процентна ставка прибутковості такого вкладення?

Задача 4. Банк пропонує 15% річних. Скільки має становити первісний внесок, щоб через 3 роки мати на рахунку 5 млн. грн.?

Задача 5. Яка сума краще при ставці 9% річних: 1000 сьогодні або 2000 через 8 років?

Задача 6. Розрахуйте нарощену суму з вихідної у 2 млн. грн. при розміщенні її в банку на умовах нарахування складних процентів, якщо ставка становить 15%, а періоди нарощення: а) 90 днів, б) 180 днів, в) 1 рік, г) 5 років, д) 10 років.

Задача 7. Підприємство збирається придбати через 3 роки новий верстат вартістю $8000. Яку суму потрібно вкласти зараз, щоб через 3 роки мати можливість здійснити таку покупку, якщо ставка прибутковості становить: а) 10%; б) 14%.

Задача 8. Підприємство планує протягом наступних 5 років щорічно отримувати дохід $10000. Ці кошти воно збирається вкладати під 10% річних. Яку суму підприємство отримає через 5 років?

Задача 9. Підприємство має $160000 і в разі вкладення їх у власне виробництво може отримувати протягом наступних 4 років щорічно $50000. В той же час підприємство може купити акції іншої корпорації, які приносять 12% річних. Який варіант Вам здається більш прийнятним, якщо припустити, що більш вигідних можливостей не існує?

Задача 10. Підприємство розглядає два альтернативних проекти, яки призводять до однакового результату майбутніх грошових доходів 18000 грн., але нерівномірним є їх отримання по роках:

Рік	1	2	3	4	Всього
Проект 1	5000	4000	3000	6000	18000
Проект 2	6000	4000	5000	3000	18000

Обидва проекти мають однаковий розмір вкладень. Порівняйте сучасні значення отриманих грошових потоків, якщо ставка альтернативного вкладення 18% річних.

Задача 11. Розрахуйте вартість 1000 через 5 років на умовах 8% річних за такими схемами: а) щорічне нарахування процентів; б) напіврічне нарахування процентів; в) щоквартальне нарахування процентів.

Задача 12. Розрахуйте поточну вартість кожного з наведених нижче грошових надходжень, якщо коефіцієнт дисконтування дорівнює 12% річних: а) 50 млн. через 3 роки; б) 5 млн. через 10 років.

Задача 13. Оплата при довгостроковому контракті передбачає вибір одного з двох варіантів: 25 тис через 6 років або 50 тис через 12 років. При якому значенні коефіцієнту дисконтування вибір байдужий?

Задача 14. Фірмі запропоновано інвестувати 100 тис на термін 5 років за умов повернення цієї суми частинами (щорічно по 20 тис); через 5 років виплачується додаткова винагорода в розмірі 30 тис. Чи варто приймати таку пропозицію, якщо можна депонувати гроші в банк під 8% річних, що нараховуються щоквартально?

Задача 15. Фірма має накопичити 2 млн., щоб через 10 років придбати будівлю під офіс. Найбільш безпечним способом накопичення є придбання державних цінних паперів з річним доходом 8% з напіврічним нарахуванням процентів. Яким має бути первісний вклад фірми?