Практична робота 6. Ухвалення рішень в умовах повної невизначеності

Критерій прийняття рішень – це функція, що виражає переваги особи, що приймає рішення, і що визначає правило, за яким вибирається прийнятний або оптимальний варіант рішення. Всяке рішень в умовах неповної інформації приймається в з урахуванням кількісних характеристик ситуації, в якій приймаються рішення.

Критерії можна використовувати по черзі, причому після обчислення їх значень серед декількох варіантів доводиться довільним чином виділяти деяке остаточне рішення. Що дозволяє, по-перше, краще проникнути в усі внутрішні зв'язки проблеми ухвалення рішень і, по-друге, ослабити вплив суб'єктивного фактору.

6.1. Критерій Вальда

Критерій Вальда є критерієм крайнього песимізму, оскільки статистик вважає, що "природа" діє проти нього найгіршим чином. Це критерій гарантованого результату.

Нехай гру задано матрицею виграшів гравця А. Тоді на думку статистика – гравця А, дії гравця "природа", якій діє проти нього найгіршим чином, відображуються в реалізації гравцем "природа" таких своїх стані П_j , при яких величина виграшу гравця А (статистика) приймає найменше значення mina_ij. Виходячи з цього статистик обирає таку чисту стратегію А_i, при якій найменший виграш mina_ij буде максимальним, тобто забезпечувати максимін:

(6.1)

Велична а_β , що розраховується за формулою (6.1), називається нижньою ціною гри - це максимальний виграш, що є гарантованим в грі з певним противником шляхом вибору однієї зі своїх стратегій при мінімальних результатах.

Нехай гру задано матрицею програшів гравця А, тоді найгірші дії гравця "природа", будуть реалізовуватися в таких станах П_j, при яких величина програшу гравця А (статистика) приймає найбільше значення maxa_ij. Виходячи з цього статистику необхідно обрати таку чисту стратегію А_i, при якій найбільший програш maxa_ij буде мінімальним, тобто забезпечувати мінімакс:

(6.2)

Критерій Вальда забезпечує максимізацію мінімального виграшу або, що теж саме, мінімізацію максимального програшу (втрат), який може виникнути при реалізації однієї зі стратегій. Цей критерій орієнтує ОПР дотримуватися вкрай обережної поведінки. Така поведінка прийнятна наприклад, коли гравець не має зацікавленості в крупному виграші, але хоче себе застрахувати від неочікуваних програшів. Вибір такої поведінки визначається відношенням гравця до ризику. Критерій Вальда застосовують у тих випадках, коли необхідно забезпечити успіх в будь-якій ситуації.

Застосування критерію Вальда буває виправдано, якщо ситуація, в якій приймається рішення наступна:

про можливість появи зовнішніх станів Пj нічого не відомо; доводиться зважати на появу різних зовнішніх станів Пj; рішення реалізується тільки один раз; необхідно виключити який би то не було ризик.

6.2. Критерій оптимізму

Критерій оптимізму, який називають критерієм максимаксу, використовують коли особа, що приймає рішення орієнтується на найбільш сприятливі умови.

У випадку, коли гру задано матрицею виграшів за критерієм оптимізму визначається варіант рішення, який максимізує максимальні виграші (наприклад, доходи) для кожного варіанта ситуації. Критерій оптимізму записують у вигляді

(6.3)

У випадку, коли гру задано матрицею програшів за критерієм оптимізму визначається варіант рішення, який мінімізує мінімальні програші (наприклад, витрати) для кожного варіанта ситуації.

Критерій оптимізму записують у вигляді

(6.2)

Критерій оптимізму доцільно застосовувати у тих випадках, коли статистик має можливість впливати на вибір стратегій гравцем "природа".

6.3. Критерій песимізму

У випадку, коли ОПР орієнтується на найменш сприятливі умови та неконтрольовані фактори застосовують критерій песимізму.

Для гри, яку задано матрицею виграшів за критерієм песимізму визначається варіант рішення, який мінімізує мінімальні виграші для кожного варіанта ситуації. Критерій песимізму записують у вигляді

(6.5)

Для гри, яку задано матрицею програшів за критерієм песимізму визначається варіант рішення, який максимізує максимальні програші для кожного варіанта ситуації. Критерій песимізму записують у вигляді

(6.6)

За критерієм песимізму передбачається, що неконтрольовані фактори можуть бути використані несприятливим чином. В реальних ситуаціях можуть в багатьох задачах неможливий контроль за неконтрольованими факторами. Це відноситься до задач, в яких є необхідність урахування фактору часу; задач соціально-економічного прогнозування; задач довгострокового планування тощо. Наприклад, витрати виробництва є контрольованими факторами на короткострокових часових інтервалах, але при аналізі довгострокових проектів певні елементи витрат виробництва стають неконтрольованими: вартість електроенергії, вартість матеріалів тощо.

6.4. Критерій мінімаксного ризику Севіджа

Виникають ситуації, в яких неконтрольовані фактори діють більш приємним чином у порівнянні з найкращім становищем, на яке орієнтувалась ОПР. Наприклад, погодні умови оказалися краще прогнозованих; конкуренція зменшилась на ринку у порівнянні з прогнозованими очікуваннями. У цих умовах виникає необхідність визначення можливих відхилень отриманих результатів від їх оптимальних значень. У цьому випадку застосовують критерій Севіджа.

Цей критерій аналогічний попередньому критерію Вальда, але ОПР використовує не матрицю виграшів А, а матрицю ризиків R.

За критерієм Севіджа кращим є рішення, при якому максимальне значення ризику буде найменшим, тобто

(6.7)

Тобто розглядаючи і-ту стратегію, допускаємо ситуацію максимального ризику, та вибираємо стратегію з найменшим ризиком. Для застосування критерію Севіджа до ситуації пред'являються ті ж самі умови, що й для критерію Вальда.

Суть критерію Севіджа полягає у прагненні уникнути великого ризику при виборі рішення (стратегії).

6.5. Критерій песимізму-оптимізму Гурвіца

Цей критерій рекомендує в процесі прийняття рішення використовувати певний середній результат, що характеризує стан між крайнім песимізмом і крайнім оптимізмом.

У випадку, коли гру задано матрицею виграшів за критерієм Гурвіца перевага віддається варіанту рішення, яке визначається максимумом серед лінійних комбінацій мінімального і максимального виграшів:

(6.8)

де 0 ≤ ≤ 1.

Коефіцієнт λ можна розглядати як показник оптимізму.

При λ = 1 критерій Гурвіца співпадає з максимаксним критерієм, тобто орієнтація на граничний ризик, оскільки великий виграш спрягається з великим ризиком. При λ = 0 критерій Гурвіца співпадає з критерієм Вальда, тобто орієнтація на обережну поведінку. Тому критерій Гурвіца ще називають критерієм узагальненого максиміну.

Значення λ є проміжними між ризиком та обережністью і вибирається із суб'єктивних (інтуїтивних) міркувань в залежності від конкретних умов та схильності до ризику ОПР.

У випадку, коли гру задано матрицею програшів за критерієм Гурвіца перевага віддається варіанту рішення, яке визначається мінімумом серед лінійних комбінацій мінімального і максимального виграшів:

(6.9)

Формулу (6.9) застосовують також у випадку, коли задано матрицю ризиків.

Критерій Гурвіца застосовується у випадку, коли:

- про ймовірність появи стану П_j нічого не відомо;

- з появою стану П_j необхідно вважатися; реалізується тільки мала кількість рішень; допускається деякий ризик.

Завдання 1.

Є три альтернативні варіанти ринкової стратегії. Приклад матриці цінності альтернатив (т.е оцінок можливого прибутку бізнесмена залежно від стану зовнішнього середовища) приведений в табл. 6.1.

Таблиця 6.1

Можливі рішення	Можливі стани зовнішнього середовища
	1. Сприятливе	2. Звичайне	3. Несприятливе
1. Розширити свій бізнес	200	100	-100
2. Зберегти масштаб бізнесу	100	40	-60
3. Скоротити частину бізнесу	10	0	0

Знайти оптимальні стратегії при песимістичний оцінці (критерій Вальда), оптимістичний (максимаксний критерій), зваженій оцінці (критерій Гурвіця), оцінці мінімуму жалю (критерій Севіджа). Значення коефіцієнта оптимізму вибрати самостійно (не рівним 0, 1/2, 1). Результати вибору рішення відобразити в таблиці.

Рішення

Критерій Вальда відповідає песимістичній оцінці: вибирається та альтернатива, для якої песимістична оцінка найбільша, тобто максимум з мінімумів, краща з гірших:

, . (6.1)

Так, для матриці цінности (табл. 4.2) отримаєм:

,

,

,

. При этом .

Згідно максимаксному критерію вибирається альтернатива з найбільшою оптимістичною оцінкою (краща з кращих):

, . (6.2)

У даному прикладі . При цьому .

Згідно критерію Гурвіця вибирається коефіцієнт оптимізму . Альтернативи оцінюються згідно виразу

, . (6.3)

Виберемо коефіцієнт оптимізму . Тоді за даними даного прикладу отримаємо: , , , . При цьому .

Згідно критерію Севіджа спочатку розраховується матриця Жалю (звана також матрицею ризиків, матрицею упущеної вигоди):

. (6.4)

Альтернативи оцінюються згідно виразу

, . (6.5)

Згідно даним даного прикладу матриця жалю має вигляд: . Тоді . При цьому .

Результати розрахунку критеріїв зведені в таблицю (табл 6.2). Кращі значення кожного з критеріїв відмічені підкресленням.

Таблиця 6.2

Номери альтерна тивних рішень	Стани зовнішнього середовища			Критерії
	1	2	3	Вальда	Максимаксний	Гурвіця ( )	Севіджа
1	200	100	-100	-100	200	-10	100
2	100	40	-60	-60	100	-12	100
3	10	0	0	0	10	3	190

Індивідуальні початкові дані (чисельні значення матриці цінності альтернатив) приведені в табл. 6.3

Таблиця 6.3.

В-т	Матриця цінності	В-т	Матриця цінності	В-т	Матриця цінності	В-т	Матриця цінності	В-т	Матриця цінності
1	200 80 -100 100 30 -40 20 10 -10	7	100 60 -80 40 20 -50 10 0 -10	13	200 80 -140 100 40 -60 20 10 -10	19	200 80 -120 100 40 -60 20 10 -10	25	220 90 -150 110 50 -50 10 0 -10
2	100 50 -80 40 20 -50 10 0 -10	8	200 70 -120 100 40 -60 20 10 -10	14	100 50 -100 50 20 -60 10 0 -30	20	100 50 -120 50 20 -60 20 10 -30	26	120 70 -140 90 20 -60 20 0 -30
3	200 80 -120 100 40 -60 20 10 -10	9	100 50 -120 50 20 -60 20 10 -30	15	200 100 -160 80 40 -90 20 10 -30	21	180 60 -110 110 40 -60 30 10 -10	27	160 80 -120 60 30 -70 40 10 -30
4	100 50 -100 50 20 -60 20 10 -30	10	200 90 -150 80 40 -90 20 10 -30	16	100 50 -100 50 20 -60 10 0 -30	22	110 50 -120 50 30 -60 20 10 -20	28	130 60 -120 60 30 -80 10 0 -30
5	200 100 -150 80 40 -90 20 10 -30	11	200 80 -100 100 30 -40 20 0 -10	17	200 90 -150 80 40 -90 20 10 -30	23	210 80 -130 90 40 -90 30 10 -30	29	220 110 -180 90 20 -90 20 10 -30
6	200 80 -100 100 40 -40 20 10 -10	12	100 50 -90 40 20 -50 10 0 -10	18	100 50 -80 40 20 -50 10 0 -10	24	190 80 -100 60 30 -40 30 0 -10	30	120 70 -80 60 20 -50 20 0 -10

Завдання 2.

Пекарня випікає хліб на продаж до магазинів. Собівартість однієї булки становить 0,30 грн. Її продають за 0,7 грн. Варіанти попиту та обсягів виробництва в табл. 6.4.

Таблиця 6.4

Попит на добу, од.	10	12	14	16	18
Частота	5	10	15	15	5

Якщо булку виготовлено, але не продано, то додаткові збитки становлять 0,20 грн. за одиницю. Зробити висновок, скільки випікати продукції за кожним правилом.

Методичні поради до розв’язку задачі.

Для кожного з можливих значень існує найкраща альтернатива з погляду ймовірних прибутків (табл. 6.4). Відхилення від цих альтернатив призводить до зменшення прибутків через підвищення пропозицій над попитом або неповного задоволення попиту.

Підприємству треба визначити, яку кількість продукції варто випустити, щоб отримати найбільший прибуток. Рішення залежить від ситуації на ринку, тобто від конкретної кількості споживачів. Конкретна кількість споживачів наперед невідома й може бути п’яти варіантів: S₁, S₂, S₃, S₄, S₅. Є можливими п’ять варіантів випуску продукції підприємством: А₁, А₂, А₃, А₄, А₅. Кожній парі, що залежить від стану середовища – S_j та варіанта рішення – A_i, відповідає значення функціонала оцінювання – V(A_i, S_j), що характеризує результат дій (табл. 6.5).

Таблиця 6.5

Прибуток від реалізації (матриця прибутків), тис. грн.

Варіанти рішень Ai	Можливий попит, Sj
	10	12	14	16	18
10	(0,7 - 0,3) · 10 = 4.0	(0,7 – 0,3) · 10 = 4,0	4,0	4.0	4,0
12	0,7 · 10 – 0,3 · 12 – 2 · 0,2 = 3,0	(0,7 – 0,3) · 12 = 4,8	4,8	4,8	4,8
14	0,7 · 10 – 0,3 · 14 – 4 · 0,2 = 2,0	0,7 · 12 – 0,3 · 14 – 2 · 0,2 = 2,0	(0,7 – 0,3) · 14 = 5,6	5,6	5,6
16	1,0	2,8	4,6	(0,7 – 0,3) · 16 = 6,4	6,4
18	0,0	1,8	3,6	5,4	(0,7 – 0,3) · 18 = 7,2
Імовірність	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Знайти оптимальні стратегії за різних видів оцінок.