4.2. Метод «северо-западного угла»

Для того чтобы заранее определить, будет ли вести новое решение, к уменьшению значения целевой функции, мы прибегаем к расчёту оценки свободной клетки на предмет полезности её использования для получения нового опорного решения с уменьшенным численным значением целевой функции.

Только в случае, когда выбранная клетка имеет отрицательное значение, то есть со знаком минус, новое решение, полученное на основе проведения алгоритма однократного замещения с выбранной свободной (пустой) клеткой, приведёт к решению с уменьшенным значением целевой функции Z_n , (здесь индекс «n» – означает порядковый номер реализуемого алгоритма однократного замещения).

4.2.1. Алгоритм решения

При решении задачи «распределительным методом» используется следующая последовательность процедур:

1. Согласно данным на задание строится исходная распределительная таблица, в которую заносятся значения ресурсов и потребностей

2. Рассчитываем опорное решение «методом северо-западного угла»

3. Строится схема «цикла однократного замещения» с одной из свободных, то есть «пустых», клеток опорного решения.

4. Вычисляется оценка свободной (пустой) клетки, выбранной для преобразования однократного замещения, ведущего к новому опорному решению, с уменьшенным значением целевой функции.

5. В случае если оценка клетки в начальном, или в очередном шаге, является положительной, то есть со знаком «+», то такой вариант отбрасывается. Это происходит до тех пор, пока не будет найдена клетка с отрицательной оценкой. Если же все свободные клетки будут иметь положительные оценки, то это будет означать, что достигнуто оптимальное решение – то есть решение с наименьшим значением целевой функции.

Для сокращения занимаемого пространства приведены первая, вторая и конечная распределительная таблица (рис. 4.3 – 4.5), соответствующая оптимальному решению.

Z₀= 1130; λ₁=20; О₁= -6; λ₁· О₁= -120

Рис. 4.3. Итерация №1 по методу «северо-западного угла»

.

Z₁= 1010; λ₂=10; О₂= -3; λ₂· О₂= -30

Рис. 4.4. Итерация №2 по методу «северо-западного угла»

Z_мин = 860

Рис. 4.4. Конечная матрица – оптимальное решение

4.3. Метод «потенциалов»

Метод потенциалов - одна из разновидностей симплекс-метода, проводимого непосредственно в распределительной таблице: здесь так же вначале ведётся поиск начального опорного решения, а затем после поиска полезной свободной клетки проводят направленные итерации по получению решений с всё меньшим и меньшим значением целевой функции, вплоть до нахождения оптимального решения.

4.3.1. Алгоритм решения

Отличие в рассматриваемом методе заключается только в том, что вместо «оценок клеток» (как известно, рекомендуется выполнять построение циклов со свободными клетками, имеющими отрицательные оценки) будут фигурировать нарушения потенциалов в некоторых свободных клетках.

Нарушения потенциала со знаком плюс в некоторой свободной клетке будет свидетельствовать о том, что с ней можно организовать цикл однократного замещения, ведущий к уменьшению значения целевой функции.

Попутно заметим, что численное значение нарушения потенциала (но с противоположным знаком) в точности равно отрицательной оценке той же самой свободной клетки.

Потенциалы клеток, занятых базисными переменными, в точности равны сумме потенциалов i-ой строки и j-го столбца, поскольку это является исходным условием для понятия потенциалов:

П_ij^баз = u_i + v_j (4.1)

Нарушение потенциала для свободной клетки констатируется в том случае, если: П_ij^св. > с _ij^св (4.2)

с _ij^св – значение единичной стоимости, записанное в клетке

Численное значение нарушения потенциалов ΔП_ij равно:

ΔП_ij = П_ij^св. - с _ij^св = - о _ij^св (4.3)

Опорное решение в данном алгоритме рекомендуется определять методом минимального элемента (см. лекцию 3).

Рассмотрим теперь порядок определения потенциалов и нарушения потенциалов ΔZ_ij по свободным клеткам (рис. 4.5.).

Рис. 4.5. Схема определения потенциалов клеток

В приводимой таблице клетки, занятые базисными переменными заштрихованы. В кружочках рядом с потенциалами показана очерёдность их нахождения, начиная с первого, который обязательно назначается равным нулю (с какой строчки начинать, в принципе) не имеет значения. Но удобней с первой строчки.

Ввиду того, что для данного расчёта нам не нужны «значения корреспонденций» в занятых клетках мы просто заштриховали названные клетки, чтобы обозначить их расположение в таблице. Продолжаем горизонтальную стрелку по первой строке (это горизонтальная составляющая потенциала) до затенённой клетки и останавливаемся в клетке (1-2). Далее поворачиваем её ход по вертикали вниз, за границы таблицы.

Там мы должны записать вертикальную составляющую потенциала с таким значением, чтобы сумма горизонтальной и вертикальной составляющей в точности совпадали со значением единичной стоимости, записанной в уголке затенённой клетки.

В нашем случае это будет число «3». Здесь же в кружочке запишем номер нашего действия – это цифра 2. Названная только что стрелка «пронзает» также клетку (1.5.). В третьей процедуре (порядковый номер 3), мы записываем цифру «9».Действие под номером 4 (в кружочке) выводит своей горизонтальной стрелкой на клетку (2-5). Здесь инициатива идёт уже от клетки (2-4) и для обеспечения нулевого баланса единичной стоимости мы записываем горизонтальную составляющую потенциала в размере «- 5». Метод потенциалов, при наличии навыков, позволяет намного быстрее прийти к опорному решению, в том числе за счёт отпадания надобности в проведении циклических преобразований. Мы сразу, в процессе заполнения таблицы потенциалами обнаруживаем свободные клетки, которые обеспечивают полезное циклическое преобразование от новой свободной клетки.

Следует иметь в виду, что после проведения очередной итерации, описанная схема расчёта повторяется заново с каждым, очередным, опорным решением.

Как и следовало ожидать, численные значения целевых функций в обоих вариантах совпадают по численным значениям целевых функций.

Z_мин = 860

Рис. 4.6. Оптимальное решение транспортной задачи

Контрольные вопросы

1. Какой метод используется для однократного замещения корреспонденций в матрице?

2. Дайте определение понятию «цикл»

3. Каким образом определяются значения величины λ?

4. В чем заключается сущность метода «северо-западного угла»?

5. В чем заключается сущность метода «потенциалов»?

6. Назовите основные отличия метода «северо-западного угла» от метода «потенциалов».

7. Каким образом определить, что решение транспортной задачи является оптимальным?