9.3. Формалізація та основні характеристики

моделей відмов

9.3.1. Імовірнісні моделі відмов

Статистичний підхід до вибору моделі відмов та оцінки надійності припускає наявність достатньої статистики відмов досліджуваного типу об’єктів. Встановлення виду розподілу відмов з позиції суто імовірнісних концепцій зводиться до вибору на підставі загальних міркувань одного із законів розподілів випадкових величин, розроблених у теорії ймовірностей, найпридатнішого у кожному конкретному випадку згідно із статистичними критеріями.

Експоненціальний розподіл.

Експоненціальний розподіл є однопараметричною функцією. Властивості експоненціального розподілу такі:

• експоненціальний розподіл є окремим випадком розподілу Вейбула та гамма-розподілу;

• експоненціальний розподіл характеризується сталою інтенсивністю відмов λ, яка послуговує також параметром розподілу. Стала інтенсивність відмов означає, що імовірність відмови об’єкта не залежить від того, скільки часу він пропрацював до моменту часу, який розглядається, тобто експоненціальний розподіл абсолютно не враховує старіння та зношування;

• експоненціальний розподіл має максимальну щільність відмов у початковий період, тобто відповідає низьким технології та якості вироблення і складання, вилучає технологічне припасування та доведення;

• усі моменти експоненціального розподілу фіксовані, починаючи з другого (коефіцієнт варіації для усіх випадків дорівнює одиниці) коефіцієнт асиметрії – 2, коефіцієнт ексцесу – 9);

• експоненціальний розподіл володіє властивістю згортання розподілів.

Зазначені властивості експоненціального розподілу обумовлюють суттєві методичні похибки під час оцінки показників надійності, особливо за далекого прогнозу середнього чи гамма-відсоткового ресурсу, під час розрахунку показників безвідмовності великих систем.

Основні характеристики експоненціального розподілу наведені в табл. 9.1 та на рис. 9.1.

Таблиця 9.1

Основні характеристики експоненціального розподілу

Характеристика експоненціального розподілу	Розрахункова формула
Щільність імовірності
Модель відмов (функція розподілу)
Модель надійності (імовірність безвідмовної роботи)
Математичне сподівання
Дисперсія

Параметр експоненціального розподілу визначається за формулою:

, (9.1)

де t_i – наробіток і-го об’єкта; N – кількість об’єктів.

9.3.2. Імовірнісно-фізичні моделі відмов

У імовірнісно-фізичних моделях відмов формалізація розподілу відмов здійснюється на підставі аналізу випадкових процесів деградації.

Для здійснення формалізації розподілу наробітку на відмову використовується схема, яка ґрунтується на дослідженнях кінетики фізичних процесів деградації об’єкта та виявлення параметрів двопараметричних розподілів – імовірнісно-фізичних моделей відмов.

Імовірнісно-фізичні моделі отримують на підставі аналізу фізичних процесів деградації, які відбуваються в об’єкті і спричиняють виникнення відмов. Типові (найбільш розповсюджені) моделі випадкових фізичних процесів деградації подано на рис. 9.4, де показано реалізації визначальних параметрів (найслабкіших складових об’єктів) для сукупності одно типових об’єктів. Під об’єктом можна розуміти як елемент, так і будь-яку не надлишкову систему, які подано єдиними реалізаціями визначальних параметрів своїх найслабкіших складових. У цьому випадку схема формалізації закону розподілу відмов елементів і систем та сама.

Рис. 9.4. Моделі випадкових процесів деградації і схеми формування розподілу наробітку до відмови: а – віялоподібний процес (α-розподіл); б – марковський монотонний процес (DM – розподіл); в – марковський немонотонний процес (DN – розподіл)

Наведені моделі відповідають широкому класу фізичних процесів деградації (втоми, зношування, корозії, старіння тощо). Усі зовнішні чинники, які визначають надійність та пов’язані з конструкцією, властивостями використовуваних матеріалів, технологією виготовлення, рівнем виробництва й експлуатації, у кінцевому підсумку впливають на нахил (середню швидкість процесів деградації) і розсіяння реалізацій, не змінюючи схеми формалізації і типу розподілу. Тип же розподілу у схемі формалізації, яка розглядається, визначається характером фізичного процесу деградації, зокрема, детермінованим, монотонним чи немонотонним видом його реалізації.

Схема побудови закону розподілу відмов для віялового випадкового процесу (модель а, рис. 9.4) полягає в наступному. Приймають, що швидкість змінювання визначального параметра (нахил реалізації) має апріорі відомий розподіл. Тоді на підставі правила отримання кокону розподілу функції випадкового аргументу визначають розподіл наробітку до граничного рівня (досягнення границі області працездатності). Якщо випадковий аргумент (швидкість змінювання визначального параметра) описується нормальним розподілом, то за схемою Кентейна отримують α-розподіл наробітку до відмови.

Параметри α-розподілу у найбільш розповсюдженій формі запису мають таку інтерпретацію:

• параметр масштабу β дорівнює величині, зворотній середній швидкості змінювання визначального параметра (нормованій на граничне значення), помноженої на коефіцієнт швидкості;

• параметр форми α дорівнює зворотній величині коефіцієнта варіації швидкості змінювання визначеного параметра.

Контрольні запитання:

1. Модель відмов (функція розподілу) і модель надійності та їх зв’язність.

2. Вимоги до моделей відмов.

3. Імовірнісні моделі відмов.

4. Імовірнісно-фізичні моделі відмов.