3. Основні поняття та визначення

НАДІЙНОСТІ

3.1. Основні поняття процесів та подій

3.1.1. Випадкові події

Випадкова подія – це подія, яка може з’явитися, або не з’явитися в результаті досліду.

Імовірність випадкової події – кількісна характеристика випадкових подій – теоретична частота подій, навколо якої має тенденцію стабілізуватися дійсна частота подій при повторенні досліду в заданих умовах.

Частота випадкової події – статистична імовірність події – відношення кількості подій, що з’явилися до кількості всіх подій проведених дослідів.

Характерною ознакою випадкової події є те, що вона належить до категорії масових явищ (існує можливість неодноразового повторення досліду в заданих умовах).

Прикладом випадкових подій, які використовуються в прикладній теорії надійності є:

а) подія, що характеризує те, що на інтервалі часу від 0 до t виріб безперервно знаходиться в працездатному стані. Ймовірність такої події позначається P(t);

б) подія, що характеризує те, що на інтервалі часу від 0 до t виріб може перейти у стан відмови. Ймовірність такого стану позначається F(t);

в) подія, що характеризує те, що працездатний виріб до моменту часу t перейде за час Δt із стану працездатного (стан 1) в стан відмови (стан 2). Ймовірність такої події:

. (3.1)

Дві події називаються несумісними в даному досліді, якщо вони не можуть з’явитися одночасно (сумісно).

Ймовірність суми несумісних подій, тобто імовірність того, що із всіх можливих подій з’явиться хоча б одна із них, дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

. (3.2)

Імовірність суми двох сумісних подій:

, (3.3)

де: , – відповідно ймовірність подій А і В.

Умовною ймовірністю події А відносно події В називається відношення сумісного виникнення подій А і В до імовірності події В:

_. (3.4)

В загальному випадку ймовірність добутку двох подій – це імовірність того, що події виникають сумісно:

. (3.5)

Імовірність добутку двох незалежних подій:

. (3.6)

Група подій А, …, В називається повною, якщо в результаті досліду обов’язково з’явиться одна з подій. Наприклад, подія А (виріб знаходиться в працездатному стані) і подія В (виріб знаходиться в непрацездатному стані) складає повну групу подій. Для повної групи подій сума ймовірностей всіх можливих подій дорівнює одиниці:

. (3.7)

Тобто для виробу, який може знаходитися в двох станах (А або В), імовірність виникнення хоча б одного із станів – подія достовірна.

3.1.2. Потоки випадкових подій

Випадкові події, що виникають одна за іншою з деякою послідовністю, утворюють потік випадкових подій. Наприклад, відмова і відновлення в відновлювальному виробі, утворюють потік відмов і потік відновлення.

Ординарний потік подій – потік, при якому імовірність попадання двох подій на один і той же малий відрізок часу Δt неймовірно мала.

Потік без післядії – потік, при якому для двох часових відрізків, що не перекриваються, число подій, що попадає на один із них, не залежить від того, скільки подій попало на інший відрізок. Відсутність післядії в потоці означає також те, що майбутній розвиток процесу виникнення подій не залежить від того, як цей процес виникав в минулому.

Стаціонарний потік – потік, однорідний по часу, тобто якщо щільність потоку подій – середнє число подій за одиницю часу – залишається постійним.

Потік, що має властивості ординарності, стаціонарності і відсутності післядії, називається простішим потоком або стаціонарним пуасоновським потоком.

Для простішого потоку імовірність числа m подій на інтервалі τ:

, (3.8)

де : а – середнє число подій, що припадають на інтервал τ (положення інтервалу τ на вісі часу t немає значення).

. (3.9)

Нестаціонарний потік – потік, що має властивості ординарності і відсутністю післядії, але не має властивості стаціонарності.

Для нього:

, (3.10)

де: ;

z(t) – параметр потоку відмов.

Простішій потік має широке розповсюдження в теорії і практиці надійності за наступними особливостями:

• сума великої кількості незалежних потоків із любими законами розподілу наближається до простішого потоку з ростом числа складників потоку;

• практика дослідження потоків відмов і потоків відновлення підтверджує справедливість допущення про простішій потік для великих систем.

Простішому потоку властиве наступне:

• імовірність того, що на інтервалі часу τ наступить m відмов, визначається рівнянням (3.10) (закон Пуасона);

• час між двома сусідніми відмовами підпорядковується показовому (експоненціальному) розподілу, тобто імовірність того, що відрізок часу, що слідує за однією із відмов, не з’явиться жодного разу дорівнює:

. (3.11)

Щільність імовірності – інтервал між двома сусідніми відмовами дорівнює:

. (3.12)

Середнє число відмов на інтервалі часу τ дорівнює Δτ.

Розрідження простішого потоку шляхом відкидання деяких подій із потоку приводить до того, що простіший потік перетворюється в потік Ерланга.

Якщо розрідження здійснюється збереженням кожної k-ї події, утворюється потік Ерланга k-го порядку.

Потік Ерланга першого порядку – потік простішій. Щільність імовірності випадкової величини для потоку Ерланга k-го порядку:

, (3.13)

де: λ – інтенсивність початкового простішого потоку.

Інтенсивність потоку Ерланга k-го порядку:

. (3.14)

Математичне очікування часу між двома подіями:

. (3.15)

Дисперсія часу між подіями:

. (3.16)

Потоки Ерланга використовуються в практиці надійності тому, що мають місце засоби розрідження потоків подій. Наприклад, потоки відмов розріджуються в результаті надлишкового резервування, використання контролю по деякому модулю, застосування часового резервування та інших засобів підвищення надійності.

Рівняння (3.15) і (3.16) дозволяють апроксимувати невідомі потоки подій потоком Ерланга, якщо відомі середнє значення і дисперсія часу між подіями.

Приклад. Визначити вид потоку Ерланга для потоку подій із середнім значенням часу між подіями М(τ), рівним 2 год. і дисперсією D(τ) = 8 год.

Зробимо припущення, що має місце потік Ерланга k-го порядку, і визначимо значення k.

На основі (3.15) і (3.16) запишемо: .

Тоді .

Таким чином, невідомий потік подій – потік Ерланга п’ятого порядку.