1. Кинематика

1.1 Основные понятия и определения

В задачах данного раздела определяются скорость и ускорение точки при различных способах задания движения, рассматриваются простейшие виды движения твердого тела, плоскопараллельное движение и сложное движение точки.

В зависимости от формы траектории движение точки бывает двух видов: прямолинейное и криволинейное.

Существует три способа задания движения точки.

Естественный способ заключается в том, что движение точки задано траекторией, как функцией, зависящей от времени. S = S(t). Зная уравнение движения точки можно определить пройденный путь, скорость точки в каждый момент времени, а также ускорение точки. При этом, определяется тип движения: равномерное, равноускоренное или равнозамедленное, ускоренное или замедленное.

Модуль скорости точки определяется по формуле V=dS/dt. Вектор скорости направлен по касательной к траектории.

Ускорение точки определяется как векторная сумма касательного и нормального ускорений точки:

Модуль полного ускорения

Модуль касательного ускорения определяется по формуле a_τ=dV/dt.  Вектор  касательного ускорения направлен по касательной к траектории.

Модуль нормального ускорения определяется по формуле a_n=V²/ρ , где – радиус кривизны траектории в данной точке. Вектор нормального ускорения всегда направлен по главной нормали в сторону центра кривизны траектории, поэтому это ускорение называют центростремительным.

Анализируя формулы касательного и нормального ускорений можно установить виды движений, как рассмотрено в таблице.

Виды движения точки в зависимости от ускорений

Касательное ускорение aτ	Нормальное ускорение an	Ускорение a	Скорость V	Радиус кривизны траектории ρ	Вид движения
aτ=dv/dt aτ ≠ 0	an = V2/ρ an ≠ 0		V≠const	ρ≠∞	неравномерное криволинейное
aτ=dv/dt aτ = 0	an = V2/ρ an ≠ 0	a = an	V=const	ρ≠∞	равномерное криволинейное
aτ=dv/dt aτ ≠ 0	an = V2/ρ an = 0	a = aτ	V≠const	ρ=∞	неравномерное прямолинейное
aτ=dv/dt aτ =const≠0	an = V2/ρ an ≠ 0		V≠const	ρ≠∞	равнопеременное криволинейное
aτ=dv/dt aτ=const≠0	an = V2/ρ an = 0	a= aτ=const≠0	V≠const	ρ=∞	равнопеременное прямолинейное
aτ=dv/dt aτ = 0	an = V2/ρ an = 0	a = 0	V=const	ρ=∞	равномерное прямолинейное

Рассмотрим координатный способ задания движения точки. Положение в пространстве движущейся точки определяется тремя координатами x=x(t); y=y(t); z=z(t).

Скорость точки представляет собой вектор, характеризующий быстроту и направление движения точки в данный момент времени. Проекции скорости на оси координат равны: V_x=dx/dt; V_y=dy/dt; V_z=dz/dt.

Модуль скорости

Характеристика быстроты изменения скорости - ускорение. Проекции ускорения на координатные оси: a_x= d²x/dt²; a_y= d²y/dt²; a_z= d²z/dt².

Модуль ускорения:

Векторный способ задания движения точки применяется, когда движение точки определяется радиус-вектором, являющимся функцией, зависящей от времени r = r(t).

Различают два вида простейших движений твердого тела: поступательное и вращательное движения.

Из теоремы (при поступательном движении все точки твердого тела имеют одинаковые траектории, скорости и ускорения) следует, что поступательное движение определяется движением одной из его точек, поэтому тело принимаем за материальную точку и законы кинематики точки применимы для тела.

Вращательное движение характеризуется углом поворота, который называют угловым перемещением тела φ = φ(t).

Кинематическую меру вращательного движения, характеризующую быстроту углового перемещения называют угловой скоростью ω = dφ/dt.

Кинематическую меру вращательного движения, характеризующую изменения угловой скорости называют угловым ускорением ε = dω/dt.

Сравнивая формулы кинематики точки и формулы вращательного движения тела, можно заметить, что основные из этих формул аналогичны. Кинематические характеристики каждого вида движений соответственно характеру движения представлены в таблице.

Таблица

Кинематические характеристики поступательного и вращательного движений

Кинематическая мера движения	Характер движения	Вид движения
		Поступательное	Вращательное
Перемещение	Равномерное	S = V · t	φ = ω·t
	Неравномерное	S = f(t)	φ=f(t)
	Равнопеременное	S=S0 + V0t + at2/2	φ=φ0 + ω0t + εt2/2
Скорость	Равномерное	V = S / t=const	V= R·ω
	Неравномерное	V = dS / dt
	Равнопеременное	V=V0 + a·t
Скорость угловая	Равномерное	ω = 0	ω = φ / t =const
	Неравномерное		ω = dφ / dt
	Равнопеременное		ω = ω0 + ε·t; ω = π·n/ 30
Касательное ускорение	Неравномерное	aτ = dV / dt	aτ = R·ε
	Равнопеременное	aτ = (V-V0) / t
Ускорение нормальное	Неравномерное	an = V2 / ρ	an = ω2· R
	Равнопеременное
Полное ускорение	Неравномерное	a = √ an2 + aτ2	a = R·√ε2 + ω4
	Равнопеременное
Ускорение угловое	Неравномерное	ε = 0	ε = dω / dt
	Равнопеременное		ε = (ω- ω0) / t

Движение, при котором все точки тела перемещаются в плоскостях, параллельных какой-то одной плоскости, называют плоскопараллельным движением.

Исследование движения точек фигуры при плоскопараллельном движении.

1. Для определения мгновенного центра скоростей достаточно знать направление скоростей двух любых точек фигуры, мгновенный центр скоростей находится в точке пересечения перпендикуляров, опущенных из этих точек к их скоростям.

2. Скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям до мгновенного центра скоростей: V_A/PA=V_B/PB, где P – мгновенный центр скоростей, A и B – любые точки плоской фигуры.

Сложное движение точки следует рассматривать как составное движение: относительное движение (движение точки относительно подвижной системы координат) и переносное движение (движение подвижной системы координат относительно неподвижной).

При сложном движении абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей,

При сложном движении ускорение точки равно геометрической сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений. Кориолисово ускорение равно удвоенному векторному произведению переносной угловой скорости и относительной скорости точки: Направлен вектор перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы переносной угловой скорости и относительной скорости точки в сторону поворота вектора переносной угловой скорости к вектору относительной скорости против хода часовой стрелки. По модулю Кориолисово ускорение определяется по формуле a_кор = 2ωV_отsinα, α – угол между вектором угловой скорости и вектором относительной скорости.