10. Квадратичные формы и квадрики.

Понятие квадратичной формы. Матрица квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы. Метод Лагранжа. Нормальный вид квадратичной формы. Ранг, индекс и сигнатура квадратичной формы. Положительно определенная квадратичная форма. Квадрики.

Понятие квадратичной формы: функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.

Квадратичной формой   от n неизвестных   называется сумма, каждое слагаемое которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух разных неизвестных.

Матрица квадратичной формы: Матрицу   называют матрицей квадратичной формы в данном базисе. В случае, если характеристика поля   не равна 2, можно считать, что матрица квадратичной формы симметрична, то есть  .

Написать матрицу квадратичной формы

.

Здесь 

Следовательно,

В векторно-матричной форме квадратичная форма имеет вид

A , где 

Канонический вид квадратичной формы:  Квадратичная форма называется канонической, если все   т. е.

     Всякую квадратичную форму можно привести к каноническому виду с помощью линейных преобразований. На практике обычно применяют следующие способы.

Метод Лагранжа: последовательное выделение полных квадратов. Например, если 

Затем подобную процедуру проделывают с квадратичной формой   и т. д. Если в квадратичной форме все   но есть   то после предварительного преобразования дело сводится к рассмотренной процедуре. Так, если, например,   то полагаем     

Нормальный вид квадратичной формы: Нормальной квадратичной формой называется такая каноническая квадратичная форма, у которой все коэффициенты равны +1 или -1.

Ранг, индекс и сигнатура квадратичной формы: Рангом квадратичной формы  А  называется ранг матрицы А. Ранг квадратичной формы не изменяется при невырожденных преобразованиях неизвестных.

Количество отрицательных коэффициентов - называется отрицательным индексом формы.

Число положительных членов в каноническом виде называется положительным индексом инерции квадратичной формы, число отрицательных членов - отрицательным индексом. Разность между положительным и отрицательным индексами называется сигнатурой квадратичной формы

Положительно определенная квадратичная форма: Вещественная квадратичная форма   называется положительно определенной (отрицательно определенной), если при любых не равных одновременно нулю вещественных значениях переменных 

.            (36)

В этом случае матрица   также называется положительно определенной (отрицательно определенной).

Класс положительно определенных (отрицательно определенных) форм является частью класса неотрицательных (соответственно неположительных) форм.

Квадрики: Квадрика — n-мерная гиперповерхность в n+1-мерном пространстве, заданная как множество нулей многочлена второй степени. Если ввести координаты {x₁, x₂, ..., x_n+1} (в евклидовом или аффинном пространстве), общее уравнение квадрики имеет вид^[1]

Это уравнение можно переписать более компактно в матричных обозначениях:

где x = {x₁, x₂, ..., x_n+1} — вектор-строка, x^T — транспонированный вектор, Q — матрица размера (n+1)×(n+1) (предполагается, что хотя бы один её элемент ненулевой), P — вектор-строка, а R — константа. Наиболее часто рассматривают квадрики над действительнымиили комплексными числами. Определение можно распространить на квадрики в проективном пространстве, см. ниже.

Более общо, множество нулей системы полиномиальных уравнений известно как алгебраическое многообразие. Таким образом, квадрика является (аффинным или проективным) алгебраическим многообразием второй степени и коразмерности 1.

­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­_____________________________________________________________________________