4. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Приложение к решению задач.
Скаля́рноепроизведе́ние(иногда внутреннее произведение) — операция над двумя векторами, результатом которой является число [когда рассматриваются векторы, числа часто называют скалярами], не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длины вектора x на проекцию вектора y на вектор x. Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.
Скалярным квадратом вектора называется его скалярное произведение само на себя и может быть вычислено через модуль вектора:
Свойства скалярного произведения векторов:
1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=ba
Скалярное произведение векторов в координатной форме:
Теорема. (Скалярное произведение векторов в координатной форме.) Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат.
Другими
словами, пусть 
, 
.
Тогда
.
(1)
Доказательство. Учитывая, что скалярное произведение ортогональных векторов равно нулю, а скалярный квадрат единичноговектора равен 1 , получаем:
,
ч.т.д.
Теорема доказана.
Угол между векторами:
Пусть
заданы два произвольных ненулевых
вектора 
и 
.
Приведем их к общему началу, для этого
отложим от некоторой точки 
векторы 
и 
,
равные соответственно заданным
векторам
и
(рис.
1).
Углом
между векторами
и
называется
угол 
Угол
между двумя векторами 
, 
заданными своими
координатами, вычисляется
по формуле:
Условие перпендикулярности векторов:
Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Даны два вектора a
(xa;ya) и b
(xb;yb).
Эти векторы будут перпендикулярны,
если выражение xaxb +
yayb=
0.
Приложение скалярного произведения векторов к решению задач:
1. Определение косинуса угла между векторами:
.
2. Нахождение проекции вектора на заданное направление:
, 
.
Определение векторного произведения неколлинеарных векторов:
Вектор 
называется векторным
произведением неколлинеарных
векторов 
и 
,
если:
1)
его длина равна произведению длин
векторов
и
на
синус угла между ними: 
2) вектор ортогонален векторам и ; 3) векторы , , (в указанном порядке) образуют правую тройку.
Векторное произведение коллинеарных векторов (в частности, если хотя бы один из множителей — нулевой вектор) считается равным нулевому вектору.
Векторное
произведение обозначается 
(или 
).
Свойства векторного произведения векторов:
Для
произвольных векторов 
и
произвольного числа 
справедливы
следующие свойства:
1) 
В
других источниках информации данный
пункт обычно не выделяют в свойствах,
но он очень важен в практическом плане.
Поэтому пусть будет.
2) 
–
свойство тоже разобрано выше, иногда
его называют антикоммутативностью.
Иными словами, порядок векторов имеет
значение.
3) 
–
сочетательные или ассоциативные законы
векторного произведения. Константы
безпроблемно выносятся за пределы
векторного произведения. Действительно,
чего им там делать?
4) 
–
распределительные или дистрибутивные законы
векторного произведения. С раскрытием
скобок тоже нет проблем.
Векторное произведение векторов в координатной форме:
Пусть
два вектора 
и 
разложены
по координатным ортам:
Перемножив почленно эти разложения, мы получим:
Отсюда, согласно правилам векторного перемножения ортов, будет следовать
или, после группировки коэффициентов у соответствующих ортов:
.
Полученные
коэффициенты при 
являются
определителями второго порядка:
.
Мы видим, что в правой части получился развернутый определитель третьего порядка, элементами первой строки которого являются векторы .
Таким образом:
|
(2.9) |
Это и есть окончательная формула, выражающая векторное произведение в координатной форме.
Площадь треугольника: